諸概念の迷宮(Things got frantic)

歴史とは何か。それは「専有(occupation)=自由(liberty)」と「消費(demand)=生産(Supply)」と「実証主義(positivism)=権威主義(Authoritarianism)」「敵友主義=適応主義(Snobbism)」を巡る虚々実々の駆け引きの積み重ねではなかったか。その部分だけ抽出して並べると、一体どんな歴史観が浮かび上がってくるのか。はてさて全体像はどうなるやら。

【雑想】「虚円・点円・実円」なる時代に取り残された数学ジャンルの現在について。

f:id:ochimusha01:20190506142621j:plain

円 (数学) - Wikipedia

解析幾何学において「(a, b) を中心とする半径 r の円」は「(x-a)^2+(y-b)^2=r^2」を満たす点 (x, y) 全体の軌跡である。この方程式を、円の方程式と言う。これは、中心 (a, b) と円上の任意の点 (x, y) との二点間の距離が r であるということを述べたものに他ならず、半径を斜辺とする直角三角形にピタゴラスの定理を適用しすることで導出できる(直角を挟む二辺は、各座標の絶対差 |x − a|, |y − b| を長さとする)。

中心を原点に取れば、方程式は「x^2+y^2=r^2」と簡単になる。この形(x2, y2 の係数が等しく、xy の項を持たない)の方程式が与えられたとき、以下の何れか一つのみが成り立つ:

  • ρ < 0 のときは、この方程式に解となる実点は存在しない。この場合を虚円(imaginary circle) の方程式と呼ぶ。
  • ρ = 0 のとき、方程式 f(x, y) = 0中心となる一点 O := (a, b) のみを解とし、点円(point circle) の方程式と言う。
  • ρ > 0 のときには、f(x, y) = 0 O を中心とする半径 r := √ρ の円、あるいは実円 (real circle)の方程式になる。

α = 0 のとき f(x, y) = 0 は直線の方程式であり、a, b, ρ は(射影平面上で、あるいは見かけ上)無限大になる。実は、直線を「無限遠点を中心とする半径無限大の円」と考えることができる。

#「x^2+y^2=1」だけでは半円しか描けない

f0<-function(x){sqrt(1-x^2)}
plot(f0, xlim=c(-1,1),ylim=c(0,1),type="l",main="The Circle ploting x^2+y^2=1", xlab="x", ylab="y")

f:id:ochimusha01:20190506135048p:plain

それでは残り半分「x^2+y^2=-1」はどうなってるの?

曲線 x2+y2=d は d>0のとき、sqrt(d)の半径の円を表わしますが、d<0のときは実平面上では表わすことができません。

x2+y2=-1 て円はどんな円?

 こうした虚円のイメージ化や複素数解のイメージ化は、生徒の興味・関心を引き起こす格好の題材だといえます。

突如として割り込んでくる謎の僧侶「実円」に謎文字…
どうして、こんな事になってしまったのか…

そう、これも「想像上の放射相称生物Imaginaly Radiata)」と「想像上の左右相称生物Imaginaly Bilateria)」の狭間や「オイラーの等式e^πi=-1)」と「オイラーの公式e^Θ=CosΘ+iSinΘ)」の狭間に横たわる段差の視覚化の一種…

Rによる検証例

#半径rの円の面積(pi*r^2)をrで微分(Differential)すると円周の長さ(2*pi*r)となる。
D01<-expression(pi*r^2)
D(D01,"r")
pi * (2 * r)

#半径rの球の体積(4/3*pi*r^3)をrで微分(Differential)すると球の表面積(4*pi*r^2)となる。
D02<-expression(4/3*pi*r^3)
D(D02,"r")
4/3 * pi * (3 * r^2)

まさしく「距離1の線分の旋回範囲に、それを半径とする円や球面を形成するオイラーの原始量(Euler's primitive sweep)世界観を拒絶するとどうなるかという証?