解析幾何学において「(a, b) を中心とする半径 r の円」は「(x-a)^2+(y-b)^2=r^2」を満たす点 (x, y) 全体の軌跡である。この方程式を、円の方程式と言う。これは、中心 (a, b) と円上の任意の点 (x, y) との二点間の距離が r であるということを述べたものに他ならず、半径を斜辺とする直角三角形にピタゴラスの定理を適用しすることで導出できる(直角を挟む二辺は、各座標の絶対差 |x − a|, |y − b| を長さとする)。
中心を原点に取れば、方程式は「x^2+y^2=r^2」と簡単になる。この形(x2, y2 の係数が等しく、xy の項を持たない)の方程式が与えられたとき、以下の何れか一つのみが成り立つ:
- ρ < 0 のときは、この方程式に解となる実点は存在しない。この場合を虚円(imaginary circle) の方程式と呼ぶ。
- ρ = 0 のとき、方程式 f(x, y) = 0 は中心となる一点 O := (a, b) のみを解とし、点円(point circle) の方程式と言う。
- ρ > 0 のときには、f(x, y) = 0 は O を中心とする半径 r := √ρ の円、あるいは実円 (real circle)の方程式になる。
α = 0 のとき f(x, y) = 0 は直線の方程式であり、a, b, ρ は(射影平面上で、あるいは見かけ上)無限大になる。実は、直線を「無限遠点を中心とする半径無限大の円」と考えることができる。
#「x^2+y^2=1」だけでは半円しか描けない
f0<-function(x){sqrt(1-x^2)}
plot(f0, xlim=c(-1,1),ylim=c(0,1),type="l",main="The Circle ploting x^2+y^2=1", xlab="x", ylab="y")
それでは残り半分「x^2+y^2=-1」はどうなってるの?
曲線 x2+y2=d は d>0のとき、sqrt(d)の半径の円を表わしますが、d<0のときは実平面上では表わすことができません。
「x2+y2=-1 て円はどんな円?」
こうした虚円のイメージ化や複素数解のイメージ化は、生徒の興味・関心を引き起こす格好の題材だといえます。
虚円調べてみたけど高校数学では見たことない言語で書いてあって僕には理解出来なかった pic.twitter.com/e15UMisaUT
— YO-Ⅱ (@eitoooooooooo) April 27, 2016
球の方程式はx^2 + y^2 + z^2 = r^2だけど、球の半径がマイナスの時、どういう形(グラフ)になるんだろうと思って調べてみたらこれは虚球というらしい。x軸y軸z軸に更に3本の軸を導入することでグラフ化できるとかなんとかでイメージは難しい。ちなみに円の場合は虚円という
— 七梅 (@7ume) September 24, 2016
突如として割り込んでくる謎の僧侶「実円」に謎文字…
どうして、こんな事になってしまったのか…
功を建て行を立つる者は,多く虚円の士なり。事をやぶり機を失う者は,必ず執拗のひとなり。(大きな功績や事業を完成するような人は,多くはあっさりして円満な性格の持ち主である。事業に失敗し時機を失ってしまうような人は,必ず執念深く片意地な性格の持ち主である。)『菜根譚』195
— 西山教行 (@jnnNishiyama) November 27, 2012
12月23日「功を建て業を立つるは、多くは虚円の士なり」(建功立業者、多虚円之士「菜根譚」)虚円の士とは、素直で機転のきく人。その反対は、執拗の人で、強情で融通の利かない人だとか。
— みやはら信孝 (@n_miyahara) December 25, 2010
そう、これも「想像上の放射相称生物(Imaginaly Radiata)」と「想像上の左右相称生物(Imaginaly Bilateria)」の狭間や「オイラーの等式(e^πi=-1)」と「オイラーの公式(e^Θ=CosΘ+iSinΘ)」の狭間に横たわる段差の視覚化の一種…
Rによる検証例
#半径rの円の面積(pi*r^2)をrで微分(Differential)すると円周の長さ(2*pi*r)となる。
D01<-expression(pi*r^2)
D(D01,"r")
pi * (2 * r)#半径rの球の体積(4/3*pi*r^3)をrで微分(Differential)すると球の表面積(4*pi*r^2)となる。
D02<-expression(4/3*pi*r^3)
D(D02,"r")
4/3 * pi * (3 * r^2)
まさしく「距離1の線分の旋回範囲に、それを半径とする円や球面を形成する」オイラーの原始量(Euler's primitive sweep)世界観を拒絶するとどうなるかという証?