学生の頃、数学で最初に躓いたのは「三角比で1:1:sqrt(2)の正方形を習ったが、半径1の円に外接する正方形体は1辺が2」という問題でした。
*サイズは対数表示(正三角形と正方形の内接・外接関係は対数尺に従う)。dは対角線、a0=対象円に内接する正方形の一辺、a1=対象円に外接する正方形の一辺、r=対象正方形に外接する円の半径、R=対象正方形に外接する円の半径。
Target_size | Target_names | Target_values | |
---|---|---|---|
1 | 2^-1 | 2^-1(2^-0.5r) | 0.5 |
2 | 2^-1 | 2^-1d=2^-1*4 | 1 |
3 | 2^-1 | 2^-1a1=2^0a0 | sqrt(2)=1.414214 |
4 | 2^-1 | 2^-1a1(2^-0.5a0)*4 | 4sqrt(2)=5.656854 |
5 | 2^-0.5 | 2^-0.5(2^0r) | sqrt(2)/2=0.7071068 |
6 | 2^-0.5 | 2^-0.5d=2^-0.5*4 | sqrt(2)=1.414214 |
7 | 2^-0.5 | 2^-0.5a1=2^0a0 | 1 |
8 | 2^-0.5 | 2^-1a1(2^0.5a0)*4 | 4 |
9 | 2^0 | 2^0(2^-0.5R,2^0.5r) | 1 |
10 | 2^0 | 2^0d=2^0*4 | 2 |
11 | 2^0 | 2^0a1=2^0.5a0 | sqrt(8)=2sqrt(2)=2.828427 |
12 | 2^0 | 2^0a1(2^0.5a0)*4 | sqrt(32)=4sqrt(2)=5.656854 |
13 | 2^0.5 | 2^0.5(2^-0R,2^1r) | sqrt(2)=1.414214 |
14 | 2^0.5 | 2^0.5d=2^0.5*4 | 2sqrt(2)=2.828427 |
15 | 2^0.5 | 2^0.5a1=2^1a0 | 4 |
16 | 2^0.5 | 2^0.5a1(2^0a0)*4 | 8 |
17 | 2^1 | 2^1(2^1-0.5R,2^0.5r) | 2 |
こういう全体像がイメージできなくて数学嫌いに…
教育者の端くれとしては恥ずかしい話なんだけど,三角比の導入を直角三角形の辺の比で行う必要性を充分理解できていない・・・.
— 坂どん (@banban7866) March 21, 2019
というのも,塾講で教えているとき,割と地頭が良い生徒でさえも,直角三角形の比から単位円の座標に移るところで理解できなくなってしまうということが多々あるからだ.
どうやら,初学者にとっては初めに習った定義が最も記憶に残っていて,その定義に拘り過ぎて単位円上の座標による定義にスムーズに移行できない(受け入れられない)らしい・・・.
— 坂どん (@banban7866) March 21, 2019
「三角〝比〟は辺の長さの〝比〟のはずなのに,どうして cos(θ) はマイナスになるの?」などの疑問が絶えない・・・.
勿論これが数学Ⅰ・Aの範囲で最も拡張と統合の説明がしやすいことは分かっているつもりなんだけど,僕の教える力量が不足していることを加味しても,わざわざここで「直角三角形の比(もしくは長さ)で定義してから,単位円上の座標での定義に拡張させる」というのは,初学者には無理がある気がする.
— 坂どん (@banban7866) March 21, 2019
ある僕の友だちが下校途中に何気なく放った「最初から単位円で説明してくれれば分かりやすかったのに」という言葉を今もなお覚えているんだけど,これは的を射ているんじゃないかなって塾講で教えながらちょっと思ってる・・・.
— 坂どん (@banban7866) March 21, 2019
つまり,初学者でさえも初めから単位円上の点の x 座標を cos(θ) ,y 座標を sin(θ) と定義しちゃう感じで良いんじゃないかって疑問.
— 坂どん (@banban7866) March 21, 2019
「こう定義すると,0 < θ < π/2 のときには特別に,直角三角形の辺の長さ(の比)で表現できるよ」って説明をすれば良いんじゃないかって疑問.
定義の拡張の楽しさを伝えたいのは僕も同じなんだけど,初学者にとっては楽しさに気づく前に混乱しちゃうことが多くて,う~んって感じ.
— 坂どん (@banban7866) March 21, 2019
歴史の追体験に拘っているからな気がします。
— 暇人 (@safefield) March 21, 2019
もう21世紀なんだから「最初から単位円を扱う専用アプリを与えてグリグリ動かして自然に体に覚えさせる」でいいんじゃないかな? ついでに複素数の概念もマスターしちゃうよ?