70 年代に児玉永見が「可算直積で閉じる空間族には応用がある」と言ったのだけど、おそらく数学はその道には進まず、ただ可算直積で閉じる空間族たちの中でアレフ0空間だけは情報科学者が応用を見出した
— もちもちのナーン (@iClaymore) 2020年1月4日
下記リンク・英語版 Wikipedia 記事『領域理論』の一般化の見出しに出ているリンク参照。https://t.co/Q1AiedDNKo
— もちもちのナーン (@iClaymore) 2020年1月5日
領域理論(domain theory) - Wikipedia
領域 (domain) と呼ばれる特別な種類の半順序集合(ordered set)を研究する数学の分野であり、順序理論の一分野である。 計算機科学の表示的意味論（denotational semantics）を構築するために用いられる。 領域理論は、近似と収束という直観的概念を極めて一般的な枠組で形式化し、位相空間と密接な関係をもつ。 表示的意味論に対する他の重要なアプローチとしては距離空間（metric space）を用いるものがある。
数学において「順序」の概念が定義された集合の事で、ここでいう「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元 a, b に順序関係が定まっている（「比較可能」である）必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。
比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合（partially ordered set, poset）ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 (totally ordered set) という。（「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。）
全順序集合の簡単な例は整数の集合や実数の集合で、通常の大小比較を順序とみなしたものがある。
一方、全順序ではない半順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を入れたものや、（2つ以上元を含む）集合の冪集合において、包含関係を順序とみなしたものがある。例えば2元集合 S = {a, b} において {a} と {b} はいずれも他方を包含していないので S の冪集合は全順序ではない。
実生活に近い例では、「AさんはBさんの子孫である」という事を「A＜B」という大小関係とみなす事で人間全体の集合を半順序集合とみなせる。AさんとBさんはどちらも他方の子孫でない事もありうる（兄弟同士、叔父と甥、赤の他人等）ので、この順序集合は全順序ではない。
距離空間（metric space） - Wikipedia
距離関数と呼ばれる非負実数値関数が与えられている集合のことである。
古代より、平面や空間、地上の 2 点間の離れ具合を表す尺度である距離は測量や科学、数学において重要な役割を果たしてきた。1906年にモーリス・フレシェは、様々な集合の上で定義された関数の一様連続性の概念を統一的に研究した論文 Fréchet (1906)において、ユークリッド空間から距離の概念を抽出して用い、距離空間の理論を築いた。
平面 R2 の上の 2 点 P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) の間の距離にもマンハッタン距離d1(P1,P2):=|x1-x2|+|y1-y2|やユークリッド距離d2(P1,P2):=sqrt'((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)などがあり、同じ集合に対して何種類もの異なる距離関数を考える事も少なくないため、集合 X と距離関数 d を組にして (X,d) と書き、距離空間と呼ぶ。
特に距離が与えられることによって、点同士の関係を実数値として定量的に捉えることができるので、極限や連続性の概念が扱いやすくなる。フレシェは位相幾何学の成果のうちで距離に関するものを汲み上げ、一般の距離空間の性質として証明しなおして適用することで汎関数の極限を調べている。
距離空間では、距離を用いて近傍系を定義する事もできるため、位相空間の特殊な例になっている。ユークリッド距離とマンハッタン距離であれば、R2 上に同じ近傍系を定めることができるが、異なる近傍系を持つ距離もある。
フェリックス・ハウスドルフは位相空間の重要な性質として距離・近傍系・極限の 3 つを考察し、近傍系を選び位相空間の公理化を行った。そして、極限や連続性などの概念も距離とは無関係に一般化されていった。こういった一般の位相空間から距離は導かれないので距離空間で論じられる空間は一般の位相空間より狭い範囲のものに限られてしまう。しかし、距離空間は一般の位相空間における定理の意味を掴みやすく、また、位相空間論が応用される集合は距離空間として考えることができる空間が多いため、距離空間は今なお重要な概念である。
とりあえず何の話かさっぱり分かりません。
可算集合（countable set または denumerable set）もしくは可付番集合 - Wikipedia
おおまかには、自然数全体と同じ程度多くの元を持つ集合のことである。各々の元に 1, 2, 3, … と番号を付けることのできる、すなわち元を全て数え上げることのできる無限集合と表現してもよい。
有限集合も、数え上げることができる集合という意味で、可算集合の一種とみなすことがある。そのため、はっきりと区別を付ける必要がある場合には、冒頭の意味での集合を可算無限集合 (countably infinite set) と呼び、可算無限集合と有限集合を合わせて高々可算 (at most countable) の集合と呼ぶ。可算でない無限集合を非可算集合 (uncountabe set) という。非可算集合は可算集合よりも「多く」の元を持ち、全ての元に番号を付けることができない。そのような集合の存在は、カントールによって初めて示された。
可算個の可算集合の和集合や、有限個の可算集合の直積集合はまた可算である。これより、代数的数全体の集合Qは可算となるが、可算個の可算集合の直積集合や、可算集合の冪集合は非可算であり、その濃度は連続体濃度となる。
集合のデカルト積（Cartesian product）または直積（direct product）、直積集合、または単に積（product） - Wikipedia
数学において集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
A = {x, y, z} と B = {1, 2, 3} との直積の図示
数学を基礎付ける集合論において、アレフ数（aleph number）は無限集合の濃度（あるいは大きさ）を表現するために使われる数の列である。それらはそれらを表記するのに使われる文字、ヘブライ文字の第一文字アレフ(א)にちなんで名づけられている。
自然数全体の集合の濃度はアレフ・ノート ℵ0（aleph-naught; アレフ・ヌル (aleph-null) あるいはアレフ・ゼロ (aleph-zero) とも）であり、次に大きい濃度がアレフ・ワン ℵ1, 次はアレフ・ツー ℵ2 と以下同様に続く。このように続けて、すべての順序数 α に対して以下に述べられるように一般のアレフ数となる濃度ℵα を定義することができる。
概念はゲオルク・カントールまでさかのぼる。彼は濃度の概念を定義し無限集合には異なる濃度があることに気付いた。
アレフ数は代数学や微積分でよく見る無限大 (∞) とは異なる。アレフ数は集合の大きさを測るものだが、一方無限大は一般に（関数や数列が「無限大に発散する」とか「限りなく増大する」という形で現れる）実数直線上の非有限極限、あるいは拡張実数直線の極点として定義される。
なるほど、さっぱり分かりません。
