実は私にはかつてPoser(1995年~)ユーザーだった時期があるのです。
そして最近、ほぼ同様の機能と操作感を継承したDaz studio(2005年~)なる無償レンダリングソフトが広まっていると聞いて、ついインストールしてしまいました…
タダより怖いものはない。「基本無料」って、まさにガチャ…
なるほどgif化は別アプリで行うのがセオリーになってるみたいですね。今回はとりあえず以下のサイトを使ってみました。利用頻度が増えてきたらR経由でImageMagikを叩く展開になりそうな気がしてます。
GIF作成 - GIF画像(GIFアニメ)を無料で作成できるサイト！
デフォルト・キャラに即興で思いついた「四象限の踊り」を躍らせてみた結果。
その逆回転バージョン。上が右手系(right-handed system)とすれば下は左手系(left-handed system)となる？
右手系（right-handed system）または正系（positive-oriented system） - Wikipedia
線型代数学における座標系で右手の法則（right-hand rule）に従うものを指し、左手系（left-hand system）と区別される。多くの分野では右手系が標準とされ、左手系は非標準的とされる。
そして「半径rの円において直径2rと半円の弧長πがネイピア数で結びつけられる…」なんて小難しい言い回しだって…
「この二つの分野のそれぞれの概念は、まったく別の概念だと思われていた」という一文を読んで、私は真っ先にオイラーの等式(Euler's identity)を連想しました。
- e^iπ=−1
それぞれ全く異なる定義から導き出される定数が、虚数単位を介して結び付いている不思議な式。以下のように書かれることもあります。
- eiπ+1=0
まぁ、さらに少し遡ると微分(Differential)と積分(Integral)の概念すら同じ数理の表裏だなんて考えられてなかった訳でして…
- 要するに円の周長2πrすなわち「(無限大の辺数と無限小の辺長で構成される)円そのもの(Circle Itself)の辺長計を求めた計算結果」も、ネイピア数(Napier's constant)すなわち「観測原点0を起点に展開する透視図法的距離感を(無限大から無限小にかけての範囲を扱う)無限数列(an Infinite Sequence of Numbers)における理論上の公比(Common ratio)」も、それ自体を直接は扱えない人類の無限遠点の近似計算方法という点では等価であり、だからこそガウス積分（Gaussian integral）を筆頭に(無限大から無限小にかけての範囲を扱う)広義積分（improper integral）の世界では両者の間にある種の可換性が成立するという話?(収束する数値こそ違えど、どちらも「無限遠点に無限に接近し続ける」計算方式には違いなく、ここが両者の接点となる。とはいえまだ自分なりに自明の理の場合として定立している概念ではなかったりする…)
統計言語Rによる確認例:自然指数関数e^xの引数が1だったり、初項0公比eの等差数列の添字が1だった場合の円周率πの対応。
#オイラーの「ネイピアの対数表」に基づく算出方法
cx0<-seq(1,70,length=700)
f0<-function(x){(1+1/x)^x}
cy0<-f0(cx0)
#グラフ化してみる。
plot(cx0,cy0,xlim=c(1,32),ylim=c(0,3.5),type="l",col=rgb(0,1,0),main="From One side to Two sides", xlab="NoS(Number of Sides)", ylab="(1+1/NoS)^N/tan(π/NoS)*cos(π/NoS)*NoS")par(new=T)#上書き指定
#円周計算
cx1=seq(1,70,length=700)
f1=function(x) tan(pi/x)*cos(pi/x)*x
cy1<-f1(cx1)
plot(cx1,cy1,xlim=c(1,32),ylim=c(0,3.5),type="l",col=rgb(0,0,1),main="", xlab="", ylab="")#自然対数eと比較。
abline(h=exp(1),col=rgb(0,1,0))#exp(1)=2.718282...
abline(h=pi,col=rgb(0,0,1))#π=3.141597...
#凡例
legend("bottomright", legend=c("(1+1/N)^N->exp(+1)=2.718282...","tan(π/NoS)*cos(π/NoS)*NoS->π=3.141593..."),lty=c(1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(0,0,1)))
統計言語Rによる確認例:自然指数関数e^xの引数が-1だったり、初項0公比eの等差数列の添字が-1だった場合と円周率2πとの対応。
#オイラーの「ネイピアの対数表」に基づく算出方法
cx0<-seq(1,70,length=700)
f0<-function(x){(1-1/x)^x}
cy0<-f0(cx0)
#グラフ化してみる。
plot(cx0,cy0,xlim=c(1,32),ylim=c(0,6.5),type="l",col=rgb(0,1,0),main="From One side to Two sides", xlab="NoS(Number of Sides)", ylab="(1-1/NoS)^N/2*tan(π/NoS)*cos(π/NoS)*NoS")par(new=T)#上書き指定
#円周計算
cx1=seq(1,70,length=700)
f1=function(x) 2*tan(pi/x)*cos(pi/x)*x
cy1<-f1(cx1)
plot(cx1,cy1,xlim=c(1,32),ylim=c(0,6.5),type="l",col=rgb(0,0,1),main="", xlab="", ylab="")#自然対数1/eと比較。
abline(h=exp(-1),col=rgb(0,1,0))#exp(-1)=0.3678794...
abline(h=2*pi,col=rgb(0,0,1))#2π=6.283185...
#凡例
legend("bottomright", legend=c("(1-1/N)^N->exp(-1)=0.3678794...","2*tan(π/NoS)*cos(π/NoS)*NoS->2π=6.283185..."),lty=c(1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(0,0,1)))
こうして言葉だけで説明しようとすると非常に難しそうに聞こえますが、ある意味こうした人体の動作にプリセットされている概念ともいえそうなのです。例えば添字(index)が奇数の時に-1、偶数の時に+1を返す振動関数1^xや初項(First term)0,公比(Common Ratio)-1の等比数列（arithmetic progression）などにおける振動距離2(-1と1の間隔)をこう表現すると…
虚数i^2=-1を代入した複素数式-1^x=(0±1i)^2^x=(0±1i)^2xのグラフが円を描く理由が直感的に理解可能となるのですね。
こういう身体の使い方もありますね（頭の動きが2R,両手の描く円弧が合わせて2πr）。この方が2Rと2πの対応、及び共役複素数(Conjugate complex)の概念が明瞭となります。
まぁ3Dモデルの動作は随分と雑ですが、理論と実践の狭間にはこれくらいギャップがあるのが常なのです(自明の理)。そもそもこういった身体性は幾何学や解析学における等差数列（arithmetic progression）aX^nや自然指数関数(Natural Exponential Function)e^nや自然対数関数(Natural Logarithm Function)といった超越関数(Transcendental function)において(半径１の)単位円Rやx=±1あるいはy=±1といった式が果たす役割と対応している様です。数学的に証明して自明の場合(Trivial Case)の範囲内に組み込むのは難しそうですが、直感的には「胴体が間に挟まってる」イメージとなりますね。
「何このバブみ?」とは動画制作者自身も思いました。それはともかく「胴体」が存在する人間の身体にとっては、そのむしろその軌跡が原点を通り符号が交錯する一次関数（Linear function）の再現の方が難易度が高いのです(何て雑な再現だ…しかしながらその雑さにこそ自明的な意味がある？)。
そう、むしろ人間の身体的には「＋の世界と－の世界が明瞭に分離している」二次関数(quadratic function)X^2などの方がはるかに優しいのですね（その優しさに甘えて実際の表現が雑になるのも自明）。
ところでこうしたGIF画像、私のパソコンだとレンダリングにそぞれ1枚辺り10分少々の時間が掛かります（キャラクターのコスチュームも背景も凝って髪や服の動きとかも整えるとそれだけで数時間単位となる。今回はそういう嵌まり方はしない予定。）。その空き時間に考えていたのがこんな事でした…
- 測量分野や天文学分野で必須となる莫大な計算負荷を省くべく、史上初めて「（乗除算を加減算に置換する魔法で）天文学者の寿命を 2 倍にした(by ラプラス)」常用対数表(Common log table)の作成に取り組んだスコットランド男爵ジョン・ネイピア（John Napier, 1550年～1617年）は事実上その計算に数十年も費やす事になった上、選んだ計算上の底(base)が0.9999999と特殊だったせいであまり広まらなかった。
- ネイピアに常用対数表作成を思いつかせたのは、当時の天文学者間における「計算省略法」競争過当の不毛さだったとも推測されている。なにしろ当時を代表する天文学者の一人たるポーランド貴族ティコ・ブラーエ（Tycho Brahe、1546年～1601年）でさえ、自らの発案した三角間関数の独自の計算方法の「盗用」を巡って裁判を起こしているくらいないである。
要するにまだまだ当時の欧州の数学は世界中の他の地域同様に(個性的な秘術の発見こそが飯の種になる)数秘術的伝統から完全には足抜け出来ないでいたのだった。
- 「底に10を選べば常用対数表の利用難易度が一気に下がる」と気付いて常用対数表をゼロから作り直したのはイングランド人数学者ヘンリー・ブリッグス（Henry Briggs、1561年～1630年）だが、彼自身は再計算に数年も要してない。
その後、対数の概念は急速に欧米全域に広まったが、それは英国人技師たるエドマンド・ガンターによる対数尺の発明(1620年)、ウィリアム・オートレッドによる計算尺の発明(1632年)があって建築現場や冒険的航海にそれが必須となったからこその展開だったといえよう。イタリア・ルネサンス期(15世紀初頭～16世紀中旬)や大航海時代（15世紀中旬～17世紀中旬）を契機とする欧州の国際的大躍進の背景には、そういう動きも存在したのである。
- 「(底を0.9999999とする)ネイピアの不思議な対数」の謎を解いて自然指数関数e^xや自然対数関数log(x)や有名な公式e^θi=Cos(θ)+Sin(θi)を次々と発表したのはスイスの数学者ヨハン・ベルヌーイ（Johann Bernoulli, 1667年～1748年）とその弟子レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707年～1783年）だったが、実際に複素数の概念が普及するのはドイツの数学者ガウス（独Johann Carl Friedrich Gauß 羅Carolus Fridericus Gauss、1777年～1855年）が1の累乗根（root of unity）の巡回性(全ての解が複素平面における半径1の基本円の弧上に存在する)を発見し、あらゆる正多角形がコンパスと物差しの援用なしに描ける様になって以降となる。
実際、このサイトで描画されるありとあらゆる正多角形がこの発見の恩恵に預かっている。感謝感激雨霰!! としか言い様がない。
そう、こういう形で道楽として数学の勉強が独学で出来るのも、コンピューターが普及した今日ならではの風景なんですね（そもそも昔のPoserでこんなに無造作にフイギュアモデルを弄ったらすぐに収拾がつかなくなってた）。こういうのも各時代固有の身体性の一環としてカウントして良い気がしてきました。
こうして全体像を俯瞰してみると10分くらい待たされたってどうという事はない？ だとしても、もちろん数学的に証明された自明の理ではないし、当人も納得いってない訳ですが…
