以下の投稿以降「数直線の連続性(その上に自然数や整数の概念の延長線上に有理数も無理数も配置可能という思想)」そのものが様々な問題の元凶じゃないかと考える様になりました。
それで、とりあえずまとめてみたのが以下。
そもそも実は数理の世界において…
- 自然数(Natural Number)Nの定義…等差数列(Arithmetic Sequence)Nn(n=1→Inf(inity)){1=1,2=1+1,3=1+(1+1),4=1+(1+(1+1))…,Inf}の形で表される。加法単位元（Additive Identity）0と乗法単位元（Multiplicative Identity）1の距離(Distance)1から出発。
- 加法群(Additive Group)でもある整数(Integer Number)Zの定義…等差数列(Arithmetic Sequence)Zn(n=Inf→-1→0→1→-Inf){1=1,0=1-1,-1=1-(1+1),-2=1-((1+1)+1),…,Inf}の形で表される。上掲の自然数列に加法単位元（Additive Identity）0を中心として反数（Opposite)-1を掛けた等差数列(Arithmetic Sequence)Zn(n=1→-Inf){1=1,0=1-1,-1=1-(1+1),-2=1-((1+1)+1),…,Inf}を合成した結果。
この次に現れるのは元来「有理数(Rational number)そのもの=比率、すなわち分子/分母の形で表せるあらゆる数」であっちゃならない筈なのですね。で、代わりに候補として上がってくるのが、正式名称すら定かでない以下。
- 乗法群(Multiplicative Group)でもある、単一元のみで構成される(要するにa*bやa/bといった形でない)特殊な有理数(Rational number)の定義…Qn(n=-Inf,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,Inf){1/Inf=0,…,1/x^3,1/x^2,1/x,1,x,x^2,x^3,…,Inf}の形で表される。乗法単位元（Multiplicative Identity）1を中心に正の整数を添字とする等比数列（Geometric Sequence）Qn(n=0,1,2,3,…,Inf){1,x^1=x,x^2=x*x,x^3=x*x*x,…,x^Inf=Inf}と負の整数を添字とする等比数列（Geometric Sequence）Qn(n=0,-1,-2,-3,…,-Inf){1,1/x^1=1/x,1/x^2,1/x^3,…,1/x^Inf=1/Inf=0}を合成したもの。
その公比（Common Ratio)次第で複雑な収束の仕方をする事でも知られる。
まぁ確かに見るからに「同じ数直線上に置いて他の数字と同じ様に考えてはいけない」感じを漂わせてるのも事実なんですが…
これ以外の有理数(Rational number)、すなわちa*bとかa/bで表せる普通の有理数の問題点は、まさにそれが複数の要素で構成されている事。要するにデカルト座標系(Cartesian Coordinate System)における傾き(Slope)や勾配(Gradient）といった複数次元を示唆する概念なんですね。そんなもの無造作に1次元空間(One-dimensional space)上に配置していいの？
それにデカルト座標系(Cartesian Coordinate System)の導入は以下の数理の始まりです。
- 次元の掌握…特に(カンブリア爆発期以降、一部の生物が視覚とそれに呼応する脊髄と運動機関のフィードバック体系を獲得する過程で依存する様になった)原始デカルト座標系より継承した時間経過と二次元・三次元の世界、あるいは主成分分析と因子分析といった多変量解析技法が扱う要素空間。
- それらの次元の比較検討…数字を付き合わせて相関関係を探ったり、プライオリティをつけたり、視野外の因子を探したりする。
この方面の研究にもそれなりの蓄積がある訳ですが「そっちにかまけ過ぎて何か見落としが累積してないか？」と常々感じてきたんですね。
そう考える私は、以前から「数直線は原点0でしか固定されてないから同心円集合と同じ」と主張してきました。この立場に立つと「自然数から整数への拡張」は0を起点に「正の世界」と「負の世界」を二分する事を意味するのです。
半径(Raduus)が構成するのは片側無限算術数列(One-Sided Infinite Sequence)
「自然数の世界」に該当
直径(Diameter)が構成するのは両側無限算術数列(both-Sided Infinite Sequence)。
「整数の世界」に該当
直線x=0を軸線に選んだ場合
(xの値の推移は-1から+1に及ぶが、Yの値は0以下/0以上に留まる)。
直線y=0を軸線に選んだ場合
(yの値の推移は-1から+1に及ぶが、xの値は0以下/0以上に留まる)。
- 幾何学の概念上はこれで「半径の二倍が直径」なる概念を導入した事になる。また対蹠が通るので出来る事が急速に広がる。
- 群論の概念上はこれで「加法単位元0、および乗法単位元1とその逆元-1」なるを導入した事になるが、まさにそれこそが群概念成立の必須条件。
それではこの路線の延長線上に浮かび上がってくる「次の1歩」とは？ いやもう昔から答えは出てるんですが「どうしてそうなるか」「その事にどんな意味があるのか」についての数理の組み立てが全然間に合っていないのです。
どうしてこれまでの知識や経験がここまで役に立たないのか…そんな感じで、以下続報…
