最近、群論(Group Theory)を自習してますが、どうやら以下があくまで中核概念の様です。
①まずは基本規約。特定の二項演算(Binary Operation)の結果の集合(Set)である群(Group)は、基本的に添字記法(Index notation=指数記法)Xnで表される。
数学における族(Family)は、添字付けされた(Indexed)元（Elements=要素）の（一般には非可算無限個の）集まりXnを指し、対、n-組、列などの概念の一般化である。系（Collection）と呼ぶこともある。元がどのような対象であるかによって、点族、集合族（集合系）、関数族（関数系）などと呼ばれる。
- 集合Iから集合Xへの写像A:I→X が与えられた時、これをXの元の集まりとみなしたものを、Iを添字集合 (index set) とするXの元の族とし、添字集合Iの元を添字 (index) という。I の要素を仮に i, j, ... と表すとき、A(i), A(j), ... の代わりに、通例 Ai, Aj, ... といった記法を用い、この族を(Ai|i∈I),(Ai)i∈I,{Ai|i∈I},{Ai}i∈Iなどであらわす。これを添字記法などと呼ぶこともある。
明示的に「添字付けられた族」(indexed family) という場合もある。また、暗に適当な濃度の集合を添字集合として添字付けることができるような集まり、という意味で「族」という術語を用い、必ずしもはじめから族が添字付けられていない場合もある。添字があらかじめ与えられていない場合でも、族に対して何らかの操作を考えるときなどには添字があったほうが都合がよく、必要な基数をもつ集合をとって添字付けを与えるのが通例である。
この事は群(Group)の研究が、その代数的構造(Algebraic Structure)の研究に他ならない事を意味している(というか、現段階ではこの規約を超える(様に見える)群研究が全く頭に入ってこない)。
数学において代数的構造(Algebraic Structure)とは、集合に定まっている算法（演算ともいう）や作用によって決まる構造のことである。代数的構造の概念は、数学全体を少数の概念のみを用いて見通しよく記述するために架空の数学者ニコラ・ブルバキ（Nicolas Bourbaki, 活動時期1934年~、主著書「数学原論(Éléments de mathématique,1939年~)」）によって導入された。
代数的構造を持つ集合は代数系（algebraic system）であるといわれる。すなわち、代数系というのは、集合Aとそこでの算法（演算の規則）の族(Famiry)R の組 (A, R) のことを指す。
逆に、具体的なさまざまな代数系から、それらが共通してもつ原理的な性質を抽出して抽象化・公理化したものが、代数的構造と呼ばれるのである。
なお、分野（あるいは人）によっては代数系そのもの、あるいは代数系のもつ算法族のことを代数的構造とよぶこともあるようである。 後者は、代数系の代数構造とも呼ばれる。
②ちなみに現時点で、私の群研究についての定義は以下の説明に依存している。
数学での群というのは英語ではGroupであり、まさにグループのイメージである。まず集合を考える。この集合の要素が次の 4 つの性質を持つ時、その集合のことを「群」と呼ぶ。
- 積もまた集合の要素になっていること…集合の要素からどれでも二つを選んで計算をした結果として何かが得られる共通のルールが定められているとする。この計算ルール、または計算結果のことを「積」と呼ぶことにしよう。「積」と呼んでいるが、それが掛け算だとは限らない。二つの要素を使って計算する何らかのルールがあればいいので、それが足し算であっても構わない。この時、同じものを二つ取り出して計算しても良いとする。さて、ここで一番大事なのは、結果として得られた積も同じ集合の要素になっていることである。計算ルールとその結果がグループ内の要素だけで完結していることを重視するわけだ。
- 結合法則が成り立つこと…結合法則というのはa(bc)=(ab)cというやつだ。先ほどは二つの要素を選んで計算をすると書いたが、二つの要素の積も同じ集合の要素なのだから、それに対してさらに別の要素を掛けることができる。こうして 3 つ以上の要素の積を考えることができるのだが、どこから計算しても同じ結果になることを保証するのがこの法則である。これによって、わざわざカッコを付けなくても 3 つの要素の積はabcのように書くだけで良くなる。
- 単位元が存在すること…単位元というのはae=ea=aとなるような要素eのことで、それはつまり、他のどんな要素との積を計算してももとと変わらない結果になるような要素である。それは掛け算のときの数字の1に似ている。
- 逆元が存在すること…逆元というのは、ax=xa=eとなるような要素xのことで、そのような要素をa^−1と表す。全ての要素にそれぞれ逆元がなければならない。
なぜこのような性質を持つものを重視してわざわざ「群」などという概念を作ったのだろうかと思うかも知れない。いや、私は思った。何か理由や目的があってこのような理論を作ったはずだ、などと疑ったわけだが、どうやら数学は「実用的な目的」のようなものをほとんど意識していないらしい。これらの組み合わせをもとにして広がる論理が面白かったので、こんなにも発展したのだろう。実際、他の組み合わせもちゃんと研究されているようで、条件をもう少し狭めた「半群」「モノイド」「マグマ」、逆に広げた「環」「体」といった概念もある。群だけが特別なのではなく、数学はすでに色々と調べ尽くしているというわけだ。
群と呼べる条件は上に書いた 4 つだけだからab=baは満たしていなくても構わない。積の順序を変えると違う結果になることが許されている。むしろ、積の順序を変えても同じ結果になる方が特別視されていて、そういうものも群の一種だが「可換群」あるいは「アーベル群」と呼ばれている。それ以外を「非可換群」あるいは「非アーベル群」と呼ぶ。
群論は、結果として、数学の代数的構造(Algebraic Structure)の分類をするのに役に立つ。
見た目やイメージが異なる別分野であっても、そこで使われている記号や計算内容のつながりを比較すると、全く同じ内容のことを実行しているに過ぎないと気付くことがある。そのような事例を沢山集めて名前を付けて分類することによって、「この分野のこの論理と、別分野のこの論理は同じ構造を持っている」だとか、「全体としては異なるが部分的に似た構造を持っている」だとかいうことがはっきり意識できるようになる。
計算だけとは限らない。図形を回転させたり反転させてみたり、座標変換をしたりするときの移動のパターンなどにも同じ構造を持つものがある。構造に着目して議論するので、図形だろうが記号だろうが、そういう見た目には縛られない。だから、図形の対称性や、理論の対称性などといったものにも関連した議論ができる。
このようなものが物理でどう役に立つかと言えば、結晶構造の分類や、量子力学に出てくる波動関数の対称性、座標変換の対称性などと関係しているところである。広い視点で考えを整理したり、新しいアイデアを持ち込んだりできるだろう。まだよく分かっていない時空の高次元の構造などを議論するのにも使えるのである。
③何でこんな概念の導入を導入する必要が生じたかと言うと、それまで私の数理(Mathematical Things)を拘束してきた「数直線の連続性(Number line continuity)」すなわち「全ての数字(観測データ)が、連続する単一数直線上に居場所を見つける」なる粗雑な共同幻想(Jointed illusion)から脱却する為。
- 自然数集合(Natural Number Set)Nn(n=1→Inf(inity)){1,2,3,…,Inf(inity)}を自明的な場合(Trival Case)として拡張した結果が整数集合(Integer Number Set)Zn(n=→-Inf(inity)→0→Inf(inity)){-Inf(inity),…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,Inf(inity)}である。その結果は等差数列(Arithmetic Sequence=算術数列)Αn(n=1→n){Α1,A(n-1)+A(n-1)d}(ただしΑ1=初項(First Term),d=交差(Common Difference)とする)で表される。
- これにさらに自明な場合として比(Ratio)による表現を加えた結果が有理数集合(Rational Number Set)であり、その結果は等比数列(Geometric Sequence=幾何数列)Βn(n=→-Inf(inity)→0→Inf(inity)){Bn=B(n-1)×Br^(n-1)}(ただしr=公比(Common Ratio)とする)などで表される。さらにこの方法では表せない無理数集合(Irrational Number Set)も加えたのが実数集合(Real Number Set)Rnとなる。
- さらにi^2=-1なる虚数(Imaginal Number)概念を加え複素数表現(Complex Representation)(R+Ii)(Rは実数,Iは虚数)も導入したのが複素数集合(Complex Number Set)Qnとなる。
なぜこの概念が粗雑かというと、例えば以下様なの矛盾が露呈してくる為である。
- 実は伝統的「数直線の連続性」信念における「複素数導入の必然性」の発生は、既に自然数を整数に拡張する段階、すなわちそれを同心円集合として表現した場合に無限遠点(Inf(inity))概念を無限大(Inf(inity))と無限小(-Inf(inity))に分けて考えなければならなくなった段階にまで遡る。
自然数集合(Natural Number Set)=片側の端点(End Point)のみが無限大Inf(inity)もしくは無限小-Inf(inity)に開かれた片側無限算術数列(One-Sided Infinite Arithmetic Sequence)として表現される同心円集合(Concentric Set)。
整数集合(Integer Number Set)=無限大Inf(inity)と無限小-Inf(inity)に挟まれた開区間(Open Interval)で仕切られた両側無限算術数列(Two-Sided Infinite Arithmetic Sequence)
①直線y=0を軸線に選ぶとxの値が-1から+1にかけて推移するのに対して、yの値は決して0以下(0以上)にならない。
②一方、直線x=0を軸線に選ぶとyの値が-1から+1にかけて推移するのに対して、xの値は決して0以下(0以上)にならない。
いわゆるピタゴラスの定理(Pythagorean Theorem)半径r=sqrt(x座標^2+y座標^2)=sqrt(x座標^2+y座標^2+z座標^2)を応用した半径1の単位円(Unit Circle)の式y=scrt(1-x^2)あるいはx=scrt(1-y^2)が半円しか描かない問題…ここに方便として登場する(円を描く為の)関数セットY±x=scrt(1-y^2)なる概念が、いわゆる複素数(Complex Number)の複素共役/複素共軛(Complex Conjugate）の概念につながっていく。
学童時代から悩んできた「半径の2倍が直径と単純に考えていいのか？」という問題意識の末に辿り着いたのがこの世界。結論から言えば「良くはなかった」なのですが、その領域にはさらなる深淵が待ち構えていたのです…とりあえず以下続報？
