諸概念の迷宮(Things got frantic)

歴史とは何か。それは「専有(occupation)=自由(liberty)」と「消費(demand)=生産(Supply)」と「実証主義(positivism)=権威主義(Authoritarianism)」「敵友主義=適応主義(Snobbism)」を巡る虚々実々の駆け引きの積み重ねではなかったか。その部分だけ抽出して並べると、一体どんな歴史観が浮かび上がってくるのか。はてさて全体像はどうなるやら。

【数学ロマン】いよいよ「二年目」も大詰め…

今年も本当に残りわずかとなりました。数学初学者としての取り組みも、とりあえず年内一杯は(それまで昔年の課題だった)離心率(Eccentricity)問題の理解に集中する事になりそうです。

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 極座標(Polar Coordinates System)において円弧r(θ)絶対値関数(の描く正方形)x+y=r、そして正方形{x,y}(±r,±r)はそれぞれこう見えます。

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各象限に現れる曲線が、距離関数(Distance Function)の計算結果と合致します。

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ここに突如登場する数1/1.782273(=0.561081276)は何かというとpノウムで「L2空間の真逆の円弧が軌跡として現れるp値」の近似値です。力任せで発見した後で数値検索をかけたら、Python凸最適化モデリングツールCVXPYなどが採用している模様…

それでは今度はここに放物線(Parabra)とその逆関数を置いてみます。

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何だか「単位円上の円描画関数y=sqrt(1-x^2)が半円しか描けない問題」も「N^(1/x)関数でN<0の計算が出来ない問題」も、大元は「符号概念を導入した円は片側からは反面しか見えない」問題に帰着する気がしてきました。

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逆をいえば「符号概念導入以前の円なら裏側まで見通せる」という事です。それでも見た目がそんなに変わらないのが興味深い?

image.gifまたN^x系関数と、その逆関数たるN^(1/x)系関数距離1までの軌跡に注目すると距離関数めいた振る舞いが浮かび上がってきます。

  • N^x系関数y=0から出発し第一象限においては{0,0}{1,0}{1,1}へと収束していく。その間、軌跡の残り部分は第二象限第三象限(x<0)を往復する(実数値は偶数の時二象限、奇数の時に第三象限。虚数値は両者を半分のピッチで往復)。
  • (一次関数y=x/y=-xの軌跡を軸に回転させたN^x系関数の逆関数たる)±N^(1/x)系関数x=0から出発し第一象限においては{0,0}{0,1}{1,1}へと収束していく。その間、軌跡の残り部分は第三象限第四象限(y<0)を往復する(実数値は偶数の時四象限、奇数の時に第三象限。虚数値は両者を半分のピッチで往復)。

この数理の具体的解析はこれからですが、最終的には両者を一緒くたに扱える可能性も出てきたという事です。

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ちなみに双曲線関数Cosh(x),Sinh(x),Tanh(x)を置いてみましたが、あまり面白い結果にはなりませんでした。何かこのトピックに関する離心率(Eccentricity)についての手掛かりとか得られるかと思ったのですが…

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双曲線(Hyperbola)そのものを置いても似た様な結果。何かこう、このアプローチでは楕円も含む「円錐的連続性」みたいなものが片鱗も感じられないというか…

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この話については、以下のサイトのアプローチ辺りが有望そうです。

ちなみにプログラムソースはこちら。

そんな感じで以下続報…