諸概念の迷宮(Things got frantic)

歴史とは何か。それは「専有(occupation)=自由(liberty)」と「消費(demand)=生産(Supply)」と「実証主義(positivism)=権威主義(Authoritarianism)」「敵友主義=適応主義(Snobbism)」を巡る虚々実々の駆け引きの積み重ねではなかったか。その部分だけ抽出して並べると、一体どんな歴史観が浮かび上がってくるのか。はてさて全体像はどうなるやら。

【数学ロマン】「さては南京玉簾」?

芸人が「アさて、さて、さてさてさてさて、さては南京玉すだれ」の威勢良い掛け声とともに玉すだれをおもむろに取り出し、「ちょいとひねれば、ちょいと、ひねれば、日米国旗に早変わり。日米国旗をちょいと伸ばせば、…」といった風に、簾の形状を次々と変えて見せる。

日本南京玉すだれ協会では、「発祥は富山県で、同県の民謡こきりこ節に用いられるささらが原型」としている。

玉すだれ」は伊勢物語の短歌にもでてくる言葉ではあるが、一般的なすだれと同様に目かくしや日光遮断のために屋内で用いる家具のことであった。

玉すだれを使った「南京玉すだれ」という大道芸が現れたのは江戸期になってからである。名前から南京発祥だと勘違いされやすいが、日本発祥である。本来は「唐人阿蘭陀南京無双玉すだれ」と称されており、「唐人にも阿蘭陀にも二つとない小さな玉すだれ」という意味で付けられたといわれている。 大国明の大都市であった南京の名をつけることで、すだれの希少性を強調し芸の価値を高める意図があったと思われる。

まさにそうとしか呼べない現象に出くわしたのです。

f:id:ochimusha01:20210104043101g:plain

 ソースはこちら。

昨年は以下の超越演算(Transcendental Operation)を用いて単位元0単位元1の出現を説明していました。

  • Inf(inity)-Inf(inity)=0
  • Inf(inity)/Inf(inity)=1
  • 1/Inf(inity):=0

しかし実は「等比数列の収束」を用いて説明するのが正解だった様です。

①(初項a,公差0の等差数列と完全に合致する初項(First Term)a,公比(Common Ratio)1等比数列(Geometric Progression=幾何数列)を「目盛り」として射影した場合。

f:id:ochimusha01:20210103062700g:plain

指数尺すなわち自然指数関数e^xの値)を「目盛り」として射影した場合。等比数列An(n=-Inf→0→Inf){a0r^(n-1)}(ただしa0は初項、rは公比)={a^-Inf,…,a^-n,a^0,a^+n,…,a^-Inf}={1/a^Inf:=0,…,1/a^n,1,a^n,…,a^Inf=Inf}の究極形。

f:id:ochimusha01:20210103063144g:plain

0<公比D<1の時
純粋な1次元展開により0へ向けて収束する。

f:id:ochimusha01:20210103212903g:plain

公比D>1の時
純粋な1次元展開により無限大(Inf(inity))に向けて発散する。

f:id:ochimusha01:20210103213712g:plain

 

公比eの場合
純粋な1次元展開により0無限大の間を埋める。

f:id:ochimusha01:20210104012151g:plain

公比D=-1の時、i^2=-1より(0±1i)^2x
(0+1i)^2x(x=-1→1)

f:id:ochimusha01:20210103071257g:plain

(0-1i)^2x(x=-1→1)

f:id:ochimusha01:20210103071813g:plain

0<公比D<1の時
どんどん振幅の幅が狭まっていく(0に向けて収束)。

f:id:ochimusha01:20210103073903g:plain

公比D>1の時
どんどん振幅の幅が広がっていく(無限大に向けて発散)。

f:id:ochimusha01:20210103074600g:plain

 

何故周期単位(Cycle Unit)は1でないといけないか、この動きだけで説明出来てしまうんですね。そう、それ以下だと0に収束し、それ以上だと無限に発散して周期を描いてくれないからです。この数理を援用した整数の定義が以下となります。

f:id:ochimusha01:20210104013354p:plain

  • -1=i^2=(0±1i)^2xすなわち偶数円2n2n-1(0+1i)+2n2n+1(0-1i)+2n+12n,奇数円2n+12n(0+1i)+2n+12n+2(0-1i)+2n+12nの4周期を刻む。
  • これは偶数円2nが…2n-1(0+1i)+2n2n+1(0-1i)+2n+22n+3奇数円2n+1が…2n(0+1i)+2n+12n+2(0-1i)+2n+32n+4…の周期を無限に刻んでいるととも解釈可能であり、この時離散的に出現する実数y=1^xとの接点が整数集合Zn(N=-Inf→0→Inf){-Inf,…,-1,0,1,…,Inf}となる。

この動きは均等尺を採った円柱座標系上にも、対数尺を採った球面座標系上にも、また大半径1,小半径1のトーラスの連なりとしても表現され得ます。

ところでこの(0±i)^axなる関数、a=0→1区間では大人しく共役複素数らしい挙動で円弧を描くだけなのですが(実はa=1→2の区間で既に挙動がおかしいので周期単位としては切り捨てを決断)…

(0+1i)^ax(a=0→1)

f:id:ochimusha01:20210105003122g:plain

(0-1i)^ax(a=0→1)(共役作用の為、見た目はまるで同じ)

f:id:ochimusha01:20210105003910g:plain

-(0-1i)^ax(a=0→1)(展開が逆に)

f:id:ochimusha01:20210105071334g:plain



aの値がそれ以上になると見た事のない挙動を始めるのです。
(0+1i)^ax(a=4→10)

f:id:ochimusha01:20210104043101g:plain

(0+1i)^ax(a=8→16)

f:id:ochimusha01:20210104024344g:plain

(0+1i)^ax(a=3→20)

f:id:ochimusha01:20210107062552g:plain

(0+1i)^ax(a=20→40)…a–39~40区間a–0~1の逆動作。つまりa40進法(40 Base)? 英語表現としては20進法(Vigesimal)と60進法(Sexagesimal)しかないのでとりあえず倍20進法(Double-Vigesimal)とでも表現するのがもっともらしいかもしれません。

f:id:ochimusha01:20210107064527g:plain

  • a=0から1にかけて(2n+1,0)を起点として共役複素数の作用により中心(2n+1,0)半径1の円が「顕現」。1~20にかけてその円の半径1→0に推移。
  • a=20~39にかけて中心(2n+1,0)の円の半径0→1に推移。39~40にかけて(2n,0)を終点として共役複素数の作用により中心(2n+1,0)半径1の円が「消失」。

ちなみに(2n,0)を起点とする共役複素数の作用によりa=1/3(39+2/3=39.66667)の時は半円が…

f:id:ochimusha01:20210107092502p:plain

f:id:ochimusha01:20210107092201p:plain

a=1/6(39+5/6=39.83333)の時四分円が「顕現」する訳ですが…

f:id:ochimusha01:20210107092032p:plain

f:id:ochimusha01:20210107091859p:plain

半円整数直線(Integer Line)y=1^xに1/2(0.5)の位置で接するのに対し、変化の範囲を1未満に限るとそれ以上でもそれ以下でも接しません。なるほどこれが2進法(Binary)に立脚する偶奇性(Parity)概念の大源流となる訳ですね。三角不等式‖x+y‖≦‖x‖+‖y‖の適用範囲が原則として‖x+y‖=‖x‖+‖y‖のみととなる整数直線の世界をさらに二分する概念(Concept)の導入(Introduce)という訳です。しかもそこには既に素数3^n族の影が…

さらに具体的に見ていくと…

a=10*4/3(13.3333)/26.66667…の時に正三角形(以下2の倍数全て)

f:id:ochimusha01:20210104044753p:plain

f:id:ochimusha01:20210105005932p:plain

a=13.214の時に「六芒星モドキ

f:id:ochimusha01:20210104045424p:plain

a=10/30の時正方形(以下3の倍数全て)

f:id:ochimusha01:20210104050232p:plain

f:id:ochimusha01:20210104050325p:plain

 

a=8/32の時正五角形

f:id:ochimusha01:20210104050554p:plain

f:id:ochimusha01:20210105010823p:plain

a=16/24の時星形(逆五角形)

f:id:ochimusha01:20210104050839p:plain

f:id:ochimusha01:20210104050857p:plain

a=10*2/3(6.67)の時正六角形

f:id:ochimusha01:20210104053747p:plain

a=10*4/7(5.714286)の時正七角形

f:id:ochimusha01:20210105011959p:plain

a=5の時八角

f:id:ochimusha01:20210104051115p:plain

a=15の時、逆8角形

f:id:ochimusha01:20210104051158p:plain

a=4.444正九角形

f:id:ochimusha01:20210105013718p:plain



a=8.888逆九角形

f:id:ochimusha01:20210104053251p:plain

a=4の時、10角形

f:id:ochimusha01:20210104051353p:plain

a=12の時、逆10角形

f:id:ochimusha01:20210104051513p:plain

a=10*1/3(3.3333)の時、12角形

f:id:ochimusha01:20210105011542p:plain

 

要するに傾き次第では周期が「ガウス巡回群」と一致するのです。

スピログラフ?

これについてまだまだ色々と調べないといけません。そんな感じで以下続報…