諸概念の迷宮(Things got frantic)

歴史とは何か。それは「専有(occupation)=自由(liberty)」と「消費(demand)=生産(Supply)」と「実証主義(positivism)=権威主義(Authoritarianism)」「敵友主義=適応主義(Snobbism)」を巡る虚々実々の駆け引きの積み重ねではなかったか。その部分だけ抽出して並べると、一体どんな歴史観が浮かび上がってくるのか。はてさて全体像はどうなるやら。

【数学ロマン】「性癖偏差値」を数理する①無次元分散空間なる評価領域の準備

下記投稿で扱った内容を実際に運用可能な数理に落とし込むには、さらに色々と準備が必要です。

まずはその第一歩。

こういう複雑な状況を分析する準備として、まずおっぱい対数尺(Logarithmic Scale)で表す事を考えてみましょう。おっぱいの大きさの測り方には色々ありますが、とりあえずここでは各論に踏み込まず、その順序が一意に定まり、かつその量を数直線上に適切な間隔で配置する事が可能であるものと仮定します。

  • すなわちこの仮定ではその計量化によって分類不可能なおっぱいは存在しないものと考えます(「閉世界仮説」の採用)。乳房の数(0~∞)や、その大小の計量基準の妥当性自体については切り離して考える訳ですね。

①その量の最小値(Min)を0=(もはや複数形で数えない)Flat-chested(ただの胸板)、理論上の最大値(Max)を無限大平均(Mean)=1と置けば、平均の倍数任意のおっぱいの大きさが示せる様になる。この様に平均値exp(0)=1のx倍のおっぱいexp(x)には必ず\frac{1}{x}倍のおっぱいexp(-x)とが対応すると考えるのが対数尺、すなわち乗法群(Multiplicative Group)の流儀(Style)。ただしこの考え方だとFlat-chested=0の場合に対応するのが観測不能無限大なので乗法群0<x<∞の範囲で分布する開集合(Open Set)として構成される点には注意されたい。なおこの時、添字(Index)自体は均等尺(Even Scale)を採用した数直線上の無限小-∞から無限大+∞の範囲に配置され加法群(Additive Group)を構成する。かかる加法群乗法群の関係は水平軸(Horizontal Axis)に対数尺を採用した極座標(Polar Coordinates System)、垂直軸(Vertical Axis)に均等尺を採用した直交座標系(Cartesian Coordinate System)を配した円筒座標系(Cylindrical Coordinate System)によって直感的に把握する事が可能である。

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②ここでいうおっぱいの比較基準N次元比較軸の直積の対角線と考えられる。各次元の目盛りは半径1を基準とした場合、2次元\frac{\scrt{2}}{2}3次元\frac{\scrt{3}}{3}すなわちN次元の場合に\frac{\scrt{N}}{N}で推移し、おそらく実際には多因子分析(MFA=Multiple Factor Analysis)や主成分分析(PCA=Principal Component Analysis)などを駆使してこれを求める形となる(この際に切り捨てられた次元が「閉世界仮説の破綻」を生み出す訳である)。その一方でオイラーの多面体/多角形定理(Euler's Polyhedral/Polygon Theorem)により、実際の空間に格子として敷き詰め得る幾何学的図形はほぼ正方形/立方体に限られるし(平面だけなら正三角形や正六角形でも敷き詰め得るし、三次元空間も瀬正八面体と正四面体の組み合わせで充填し得るが、これらを基準に直積概念を考えるのは困難を極める)、線形代数(Linear Algebra)は2次元以上の二項式を扱うのに難があるので結果として多次元は、解析学におけるチェーンルールよろしく(a+b)(a+b)^{N-1}の繰り返しとして処理される事になるのである(この概念をプログラム言語の世界に援用したのがLISPのリスト処理とも考えられる)。

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③ところでこの式形(a+b)(a+b)^{N-1}を援用すると、統計学における分散(Variance)σ^2概念を無次元分散(Infinity Variance)σ^N概念に拡張出来る。

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④ここに現れる原点0を始点とし、半径1の単位円を通過する傾き1の円錐座標系は、Z軸も対数尺度に置く事で完全に直交座標系から解放された半径2の極座標を構成する。これはリーマン球面と呼ばれる座標系であり、上掲の無次元分散概念はこれに従って評価線/同心円群/同心球面群を構成する。

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これが以降の展開に欠かせない無次元分散空間(Infinity Variance Space)の定義です。いやー長かった。2018年末にこんな感じの評価空間が欲しいと思ってから、ここにたどり着くまで実に丸々三年の考証期間を必要としたのですね。まだまだその全容をプログラムに落とし込めないα版もいいところですが、せっかくおっぱいの話で進めてきたので「巨乳と貧乳の類別」についての検討がどうなるか見てみましょう。

  • 上掲のおっぱい評価空間はあらゆる角度の直径(半径1を中心とし対数尺度で0と2を極限とする)が乗法群として構成された正則部(Regular Part)と言えるので、その全域が群論における(Core)概念に対応するといえる。

  • ここに巨乳/貧乳の概念を導入するという事は、かかる核範囲(Core Range)を「貧乳の上限」から「巨乳の下限」に狭める事を意味する。もし「この世に巨乳も貧乳もない。あるのはおっぱいのみ」なる極論に立つならその範囲はそのまま領域全体に対応するし、逆に「この世に存在するのは巨乳か貧乳の2種類だけである」なる正反対の極論に立つなら、その範囲は平均値1点にまで収縮する。実際には平均値も分散も計算結果に応じた独特の分布幅を備えるので、数学の証明問題の様に本当にただ1点に収束する訳ではない。

  • 一方「貧乳の下限」と「巨乳の上限」の無限性はある種のイプシロン・デルタ論法によって担保される。様するにその時点で観測されている最大値/最小値について更新の可能性が示し得る事がそれを担保する。一般に貧乳の下限はFlat-chested(ただの胸板)と想定されているが、上掲の思考過程を見ても分かる通り数理上はそう考えてはいけない事に注意。

とりあえずこうして「性癖偏差値」を扱う準備が整った時点で以下続報…