数学の世界は自らを「誤謬のない発展を積み上げてきた」と見せかけ過ぎなのかもしれない？ 本当はもっと試行錯誤の連続で、むしろ実態がそうである事にこそ未来への希望があるのに…
今回の投稿の発端は以下。
個人的メモ４。以下の投稿で扱った「虚数と四元数」問題、(人類が進化の過程で生得的に獲得してきた身体感覚の延長線上における)数理的認識能力の限界が試されている感があるのです。https://t.co/OiobP4pc1e
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
虚数概念それ自体はある種、符号概念の延長線上に自明の場合として登場してきます。それこそ「２進数に1桁加える」カジュアルな感覚で。 pic.twitter.com/gCjr4nGTW5
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
ところがさらにこれを「自明の場合」として三次元空間に拡張した「ハミルトンの四元数」は突如としてこの「二進数の系譜」から逸脱してしまうのです。何故？ pic.twitter.com/OVSBXxgNCf
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
それは「ハミルトンの四元数」が人類の苦手とする「三次元配列」の世界に片足を突っ込んでしまうからです。連立１次方程式を主戦場とする線形代数は、その直積として現れる「二次元配列」までは真面目に取り組んでくれますが、それ以上の次元数となるとちょっと… pic.twitter.com/mGNisJpy7h
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
これはいわゆるプラトンの五立体、すなわちオイラーの多面体定理 「頂点(Vertex)-辺(Edge)+面(Face)=２」を満たす正多面体(Regular Polyhedron)が５種類しか存在しない事とも関係してくる話です。https://t.co/ZnGdK8l42s
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
「たったの5個？」と思うかもしれませんが、人類にはこれでも多過ぎるくらいなのです。何しろ(正方形3個を直行させ頂点間を結んだ)正八面体(Octahedron)はそれ単体では空間を充填出来ず… pic.twitter.com/expAncqGO3
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
正四面体(Tetrahedron)と交互に配置してやっと空間を充填する煩雑さなので座標系としての活用事例がまるで見られないのです。https://t.co/mL5uxNr2Ep
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
ましてや、そもそも空間充填能力を最初から備えていない正十二面体（Dodecahedron）や… pic.twitter.com/v0SUhR2LAE
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
正二十面体(Icosahedron)の概念応用例に至っては… pic.twitter.com/FzXwv8m9ox
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
こうして単独空間充填能力を備える唯一の正多面体たる正六面体(Cube)が「人類の友」として残る訳ですが、実は「プラトンの五立体」問題は「球面上における頂点の均等分布」問題と重なる部分が多く、こちらの場合は「(オイラーの多面体方程式を満たさない)対蹠2点のみの配置」に含みます。 pic.twitter.com/Qc0TXj0jLo
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
そして、ここから出発した正六面体は「パスカルの三角形」4段目の並び[1,3,3,1]に従って頂点が分布。さらには四元数における回転問題を「立体の辺に沿った対処間の移動距離」として解く事になるのです。https://t.co/vEaUalG2Il
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
高校数学まで延々と解かされた2項方程式の応用範囲が思うより狭く(Pythonに至っては演算ライブラリnumpyこそ何次元配列でも計算するが、代数ライブラリSympyは二次元配列以上を解かず、表データ処理ライブラリPandasも最近該当機能を削除)…https://t.co/wrjywJmKXq
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
「パスカルの三角形」も立方体に該当する4段目以降は急激にイメージ困難となり、オイラーの多面体定理を満たす立体はこの世に5個しかなく、しかもその大半は人類の手に余る…現代数学はそんな制約をくぐる抜ける為に最終的に線形代数と解析学を選好してきたという…https://t.co/VSvLe1z7gR
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
あえてまとめるなら、こういう生々しい数学史に触れて思ったのが①そうした現実と高校受験用数学の内容が乖離し過ぎでない？②ちゃんと正い歴史を教えないと「コンピューター時代の正い数学との付き合い方」が身につかないのでは？そして…https://t.co/B8Y24lCCjb
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
③こういう「人類が選ばなかった数理」ってSF作品で「人類にとって思考過程が未知のエイリアン」の説明に使われる事が多い。古くはウェルズ「宇宙戦争」の「三角形」…https://t.co/iaLHd4RGgy
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
ラブクラフト「狂気の山脈にて」の「五角形」https://t.co/yAovgGwemz
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
そしてテッド・チャン「あなたの人生の物語」における「7角形」…https://t.co/vfhS5X1g26
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
その一方で「人類にとって苦手な数理」は、既に「掛け算の九九」の世界にまで潜んでいたりするのでした。https://t.co/k21fCjRgIZ
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
人類がしっかりと掌握している「数理三昧の世界」は案外狭いという話…https://t.co/oD9iPPUS17
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月20日
そんな感じで以下続報…
