やっとQiitaにも投稿出来そうな数学的体裁が整ってきた?
まずは一極球面体(Unipolar Sphere)について。
「一極球面体」数理メモ。観測原点Aを中心とする任意の角度の観測対象集合Bについて考える。距離ABが0から∞の間で推移するとすれば、それはこの範囲に目盛を振った半径1の球体内に「ウニ」というか「尿酸結石」というか、そういう風に視覚的にイメージされよう。https://t.co/M5VxQUWGKr
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
ここでいう「観測線」集合は、それぞれが単一評価軸の直積に基づくN次元座標系を構成。そのN次元対角線こそが正体であり、その「結束(Bind)」として、かかる全体像としての一極球面体(Unipolar Sphere)は構成されている。数学における「多様体上での埋め込み」概念の援用。https://t.co/5y6ZZyNTKQ
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
ところで生物がカンブリア爆発期に授かった「視覚」と「視覚情報を処理する脊髄」に由来する空間認識能力には限りがあって、かかるN次元対角線をほぼ3種類しかまともにイメージ操作出来ない。①正方形に2対存在する「平方対角線(Square Diagonal)」。 pic.twitter.com/0S9NJmNnOt
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②立方体(正6面体)に4対存在する「立方対角線(Cubic Diagonal)」。 pic.twitter.com/kgnFdBD5iX
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③球面上に無数に存在する「直径(Diameter)」。そう実は全ての対角線はこの様に球面の中心を通り、かつその両端がこの球表面上に分布していなければならない。数学における「対蹠=北極と南極の様な球面上の対応関係」概念の援用。 pic.twitter.com/7steyKTBLk
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実際には平方対角線は正八面体(対蹠6個、対角線3本)の構成要素に過ぎないが、立方体と異なり正八面体は単独で空間充填能力を備えておらず、正四面体(対蹠4個、対角線0本)による補完を必要とする。 pic.twitter.com/fsmv9hnSQS
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この様な座標系が生得的空間認識能力の手に余るので、人類はそれに立脚する操作イメージを育てるに至らなかった。ましてや空間充填能力を備えない正十二面体(頂点数20.対角線10本)や… pic.twitter.com/fkA9Hjh1bx
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正二十面体(頂点数12.対角線6本)の幾何学的性質に至っては現代数学に寄与するところがさらに少ない。 pic.twitter.com/WE7KGWu6bU
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この様に人類の生得的空間認識能力は、オイラーの多面体公式 VすなわちV(Vertex=頂点)-E(Edge=辺)+F(Face=面)=2(始点と終点となる対蹠対)が実在を許す「プラトンの五立体」すら使いこなせていないのである。 pic.twitter.com/2HuNoIJvPa
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さらにいうと正方形の頂点分布[1,2,1]は二次方程式(a+b)^2の展開式、立方体の頂点分布[1,3,3,1]は二次方程式(a+b)^3の展開式に関係するが、この対応も正十二面体の頂点分布[1,3,6,6,3,1]や正二十面体の頂点分布[1,5,5,1]では保たれない。 pic.twitter.com/qfd0lBFsMg
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とまぁ、こうやって「(人類の先天的空間認識能力にそぐわない)天然の数理」を大胆に枝刈りした末に「全体構造を把握する為の最適解」として浮上してくる「一極球面体(Unipolar Sphere)概念」は自明の場合として仏教でいう「仮象の三昧世界」の一つに過ぎないのである。https://t.co/8bPjh6sH0U
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こうした認識上の壁は「観測距離0の場合が原則として区別出来ない」なる形でも現れるが、人類はむしろこの制約を逆手に取って「同値関係(Equivalence Relation)の数理」を樹立。これを「(目下の課題を絞る)次元削減の手段」として用いてきた。https://t.co/16kPRPm4jk
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逆をいえば、かかる観測結果集合の各元はそれを結びつける数理が存在しない限り互いに素の状態で存在する。統計学でいう名義尺度(Nominal Scale)状態。この時点で既に( 次元削減概念に不可欠な)閉世界仮説は選択されている。https://t.co/gArs9L4NJu
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一方、「同値関係の検出」などによる次元削減の結果重ねられた元内において「中心からの距離(どれほど中心に近い同心円/同心球面に属すか)」の比較なら可能となる場合があり、これを統計学は順序尺度(Ordinal Scale)と称する(CGにおける陰線除去などの分野で地味に活躍)。https://t.co/7j8xMtkL13
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「順序尺度」概念までの到達があって、初めて「∞とは何か?」についての議論が始められるが、概ね「言葉のみの認識(定義が付帯しない)」「計数上の認識(数えられる限り有限)」「イプシロンデルタ論法による厳密な定義」の三段階に分かれる。https://t.co/HwK4ERjQ1c
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ここで重要なのが①もしこれらの元に共通する計数可能な任意の数の次元が設定可能で、②かつ赤道円を設定して二分された半球それぞれの元に揃って正負の符号が与えらレたなら、③各半球の元の総和は限りなくそれぞれの対蹠に近づいていく(収束する)、なる認識の登場。 pic.twitter.com/ir3lj1Y1Kg
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つまりこの座標系においては「発散」の概念が存在せず∞は点、円、球面などに「収束」すると考えるのである。https://t.co/VpCTcoWnLT
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次いで二極紡錘体(Bipolar Spindle)について。
「二極紡錘体」数理メモ。一極球面体(Unipolar Sphere)の場合、観測原点と観測対象の関係は一方的だったが、今度は双方とも観測原点にも観測対象にもなり得る場合を考える事にしよう。自明の場合として「観測距離」は共有される事になる。https://t.co/kHkREPkt5q
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ユークリッド幾何学では「2点間を結ぶ直線は1本」、非ユークリッド幾何学では「2点間を結ぶ直線は無数」と考えるが、これは要するに線が引かれる空間死のものの曲率に関わってくる問題。そしてこの様な全体構想を数学ては二極紡錘体(Bipolar Spindle)と称する。https://t.co/udzwJefrYK
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
大抵はここから「直線と円を用いてどの様に空間の歪みを近似するか」という話に突入するが、ここはあえてトーラス(Torus)、すなわち互いに直行する大円半径(Major Radius)と小円円半径(Minor Radius)で構成されるドーナツ型図形で考えるものとする。 pic.twitter.com/xWaUg63lM9
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
何せ出発点が「直線の両端が形成する一極球面体(Unipolar Sphere)」なので、自明の場合として出発点もこうなる。実際「大半径0:小半径1」の場合、トーラス構造は「ピッタリ重なり合う二重円/二重球面」となる。それぞれに+と−の符号を与えると合計は0。 pic.twitter.com/1csCsV72s8
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
だから球全体を俯瞰するには「半分」で考える必要があって「緯度(±90度)が経度(±180度)の半分」なのもこの理屈に準拠。そう、その時点て到達するのは反対側の対蹠(北極から出発した場合の南極)。そこが互いを観測始点とした場合の観測終点、すなわち無限遠点∞。https://t.co/YG0Nla6imf
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
そして「大半径1:小半径1」の場合はコンピューターRPGでよく見掛ける「北に進み続けると南端、東に進み続けると西端に出る世界平面図」が顕現。その全体像はこういう外観になっている。 pic.twitter.com/lGV72eC4AL
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
これを一極球面体(Unipolar Sphere)を「偶数座標系」と置いた場合の「奇数座標系」と見做す事により、全体として「半径の2倍が直径」「直径の半分が半径」「その時点の半径距離の加減で偶奇座標系を往復する」2^n計量空間が顕現する。 pic.twitter.com/FYqUCuTMiM
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
そして「大半径1:小半径0」の場合、我々がよく知る「直線」概念が顕現。何故なら「中心から円弧に下ろした垂線は必ず円弧と直交する」「円弧上の任意の点と十分に近い隣接点はこれと並行に並ぶ」という定理があるので、この様に円弧を無限に分割していき… pic.twitter.com/gsdzWu17wd
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
無限遠点∞の先にある「円の中心(点)」が「並行して引かれた直線(線)」と区別出来なくなると「円弧」は「直線」と区別がつかなくなるのである。かかる「同値性」概念に従っての考え方の飛躍が出来ない限り「地球平面説」からの脱却は難しいとも。https://t.co/pmdgRTjj13
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
ちなみに「正三角形」を出発点にしても似た様な精緻な座標系が構築可能だが「人類の生得的空間認識能力」には荷が重過ぎる側面があって、それほど発展する事はなかったのである。 pic.twitter.com/vzj2n2ESY0
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
所詮は高校数学に毛が生えた程度の数学能力しか備わってないので雑な部分は雑ですが、2017年末「自分には数理理解が圧倒的に足りてない」なる認識に到達してからの再勉強の過程で「私にとっての数学は(プログラムで動かせる)この範囲が限界らしい」という宣言も込めて投稿。https://t.co/VSvLe1yzrj
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
そしていよいよ「角度と統計の概念導入」に…
「角度と統計の概念導入」数理メモ。一極球面体(Unipolar Sphere)や…https://t.co/kHkREPC3WY
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
二極紡錘体(Bipolar Spindle)の概念を導入したのは…https://t.co/yEeAJm79mC
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
回転群T1(単位円)T2(単位トーラス)T3(四元数)を採用した立場上、その大源流たるT0(離散群)についても触れざるを得なかったものの「離散群」についての説明が全く要領を得てない様に思えたから。というか読んでて完全に珍紛漢紛だったのである。https://t.co/ILOlWttlYr
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
そこで既存知識からの再構成を考えた。「単位1にして0→∞」は1/∞*∞(加法系)ないしはα^(-|x|)(x=0→∞,乗法系)。「単位1にして∞→0」は1/∞*∞(加法系)ないしはα^(-|x|)(x=-∞→0,乗法系)=1。これを「半径」と考えた場合の「直径」は1/∞*∞(加法系)ないしはα^(-|x|)(x=-∞→0→+∞,乗法系)=2。 pic.twitter.com/DjRPFItUjw
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
加法系と異なり、乗法系は一見線形性f(ax+by)=af(x)+bf(y)(グラフ「原点を通る1次関数y=ax」)条件を満たしていない様に見えるが「対数をとると線形性条件を満たしている」とも考えられる。ちなみに2x=x^2の条件を満たすxは2しかない。https://t.co/x8jiMvbb5p
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
ところで連続で考える場合には1→0が0に辿りつけなかったり0→1が1に辿り着けないのは何とも使い勝手が悪い。そこで「反転=逆元をとる(-1掛ける)」演算から出発し、虚数i^2=-1概念を導入し-1^n=i^2nと変形した場合のi^n(n=1→0→-1)について考える。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
この式i^arccos(θ)(θ=0→π)と置くとちょうど半円を描いて反転する。内容的にはe^θiやcos(θ)+sin(θ)iと同じ。繰り返し単位が2なので、ここでも偶奇概念導入が必須となる。こうやって「直線上の新たな目盛り」としてcos(θ)関数やsin(θ)やarccos(θ)関数が追加されてくるのである。 pic.twitter.com/mWITUtBYTE
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ここに突如としてネイピア数e(2.718282)が登場するが、要するに等差数列An上の-∞を等比数列A^n上の0、0を1、+∞を∞に射影する場合の等差数列An上の1の等比数列上の射影先である。(x,y)→(-x,-y)の反転では90度直交する軸線が回転軸となる様に…https://t.co/OAK8LMsi7y
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
x軸とy軸を入れ替える転置操作では原点と45度の角度で交わる対角線y=xが軸線となる。これにx=1の場所で接する等比数列A^nのAは傾き(A^+1-A^-1)/2=1を計算する事で求められるが、それが丁度このネイピア数e(2.718282)となる訳である。 pic.twitter.com/iB0BgMweAB
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
そしてこの構造では理論上、無限小-∞から無限大-∞にかけて展開する等差数列An=A+A(n-1)や等比数列A^n=A*A^(N-1)(その無限性は一般項のイプシロンデルタ論法適用で担保)の単位元(前者は加法単位元0,後者は乗法単位元1=半径1の単位円)を任意の場所に設定出来る。https://t.co/SsfNYDzsqo
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
というより∞はどう分割しても2つの∞にしか分けられないので、そういう風にしか考えられないのである。こうした「強引な解決」を経て「(等比数列や等差数列の一般項計算に立脚する)分配法則(ab)c=a(bc)の成立」「逆元と単位元」なる群成立条件が揃う(加法群はそのまま、乗法群は対数レベル)。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
一方、実際の観測結果集合のこの座標系への射影を考える場合にはまず平均を計算して加法単位元0と置き、次いで分散を求め「標準的分布を1とした場合の乗数」から分布の具合を見定める。https://t.co/RVPzwdzFcu
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
ここでいう「標準的分布」はもちろん標準分布の事を指す。角度が全く与えられなかったり、範囲でしか示されない場合にはこうした統計学的手法の出番となる訳である。https://t.co/PgBH5GDxSi
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月22日
そんな感じで以下続報…