「無限遠点への収束」概念はブラックホールめいたロマンを備えてる？
ブラックホールはどう見える？ NASAが新しいシミュレーション動画を公開 | sorae 宇宙へのポータルサイト
今回の投稿の発端は以下のTweet。
「無限遠点への収束」数理メモ。とりあえず以下で「回転群T1(単位円)→T2(単位トーラス)→T3(四元数)の遷移の大源流にある「T0(離散2点)」について触れましたが…https://t.co/lTEz2APtEz
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
実際の「T0(離散2点)→T1(単位円)」への遷移は①(一極球面体(Unipolar Sphere)の半直線観測線を拡張する形での)直線化(Linearize)、②(半径概念を拡張する形での)直径化(Diameterize)… pic.twitter.com/eiHFdibORn
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
③(1次元状態を保ったまま二次元座標を扱う方便としての)複素平面化(Complexification)の3段階で規定しました。このうち直径化(Diameterize)は、とりあえず[-∞,0,+∞]あるいは[-1,0,+1]の３元のみで構成される小さな集合を表すために私が作った造語。 pic.twitter.com/swFMtJDVDP
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
実際には何か他に然るべき専門用語があるかもしれません。群を成立させる「結合条件( ab)c=a(bc)」と「単位元と逆元の存在」条件も満たしてる様な、満たしてない様な…ちなみにN次球面理論では実際にこれがズバリ「1次元球面」と呼ばれています。https://t.co/5zTju2Zyo4
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
実際には何か他に然るべき専門用語があるかもしれません。群を成立させる「結合条件( ab)c=a(bc)」と「単位元と逆元の存在」条件も満たしてる様な、満たしてない様な…ちなみにN次球面理論では実際にこれがズバリ「1次元球面」と呼ばれています。https://t.co/5zTju2Zyo4
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
要するに「半径の倍が直径」「直径の半分が半径」 はあくまで表面的理解。実際にはその背後に1/2回転で考える2^n進数の世界が広がっており、さらにその先に1/4回転で考える2^(n/2)の世界が広がっているのです。 pic.twitter.com/MlTxwaZuGy
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
そう「1辺が1の正方形の対角線は√2」で、この世界が「円の内接正方形と外接正方形の一辺と対角線の関係」「正方形の内接円と外接円の半径」という形で無限連鎖を続けるのです。 pic.twitter.com/JO5iOT871S
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
実は3^(n/2)の世界も無限連鎖するのですが、人類はその生得的空間認識能力の限界からこちらの数理への深入りは避けてきました。 pic.twitter.com/QChCizLpsd
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
とりあえず正多面体でこの様な性質を持つのは正三角形と正方形のみ。条件をさらに広げると…まぁその方面の探索はより数学に強い人達に任せておきましょう。 pic.twitter.com/POBgCBlLop
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
そしていきなり障壁として立ち塞がる「直交軸と対角軸の目盛りは1対√2だが無限遠点∞では等しくなる」問題。そうガウス積分でも計算領域を矩形から円形に切り替える時に出て来るアレ。数聖ガウス様でさえここは「そういうもの」と流してます。https://t.co/IJ8FfVdigC
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
さらなる理解上の難点は、ここに現れる複素平面(Gaussian Plane)が「無限遠点への収束」概念を援用する形で双極紡錘体(Bipolar Spindle)に対応するという考え方。そもそも無限遠「点」と呼ばれながら円。そう我々はこの円を想像の中で茶巾絞りの様に絞り上げて「点」と認識する必要があるのです。 pic.twitter.com/z6axiNF67m
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
このアニメーションでは上掲の「ベルヌーイの計算方法」を用いていますが、α^θiの根αが初期値の2の時は「垂直に広がる半径πの円(πθi)」で、αがネイピア数e(2.718282…)に近付くほどムクムクと球面(360度分の半円弧)が形成され無限遠「点」その姿を。こうした全体像が双極紡錘体(Bipolar Spindle)… pic.twitter.com/M1lS8sEyEc
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
このアニメーションでは上掲の「ベルヌーイの計算方法」を用いていますが、α^θiの根αが初期値の2の時は「垂直に広がる半径πの円(πθi)」で、αがネイピア数e(2.718282…)に近付くほどムクムクと球面(360度分の半円弧)が形成され無限遠「点」その姿を。こうした全体像が双極紡錘体(Bipolar Spindle)… pic.twitter.com/M1lS8sEyEc
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この時、単位円は対蹠間を結ぶ垂直軸ばかりか赤道上(数多く埋め込まれた「目盛り=1次元座標系」のうち等差数列系(-∞→+∞ないしは-1→+1)を選んだ場合の0、等比数列系0e^-|x|を選んだ場合の1、ラジアン尺(0→π)を選んだ場合のπ/2)にも現れます。 pic.twitter.com/bTtPeVK2hF
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
式ではこうも表されます。この時… pic.twitter.com/ryitvQwwL8
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
水平回転角θ(±π)と… pic.twitter.com/gFs8jUphn8
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
垂直角φ(±π/2)の二つで球表面上の任意の地点が示せるのはよく知られてますね。 pic.twitter.com/q5fc7xqFFq
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
そう緯度(±90度)と経度(±180度)の関係…しかし実はかかるヒューリステック(Heuristic)なアプローチでは回転群T2(単位トーラス)を経てT3(四元数)には到達出来ないという…https://t.co/FYaVTHiYWd
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
突破口となるのは「どうして垂直角は水平角の半分なのか？」「そうならないのはどういう場合か？」についてちゃんと考え「そういえばコンピューターRPGの世界地図とかあれ球面なの？(最も身近な「平坦トーラス」の例)」と思いつく事。そんな感じで以下続報…https://t.co/EQY3rET9pg
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月24日
そんな感じで以下続報…
