以下の投稿によって、概ね複素平面が三角関数と指数・対数関数の融合過程で誕生してきた歴史は押さえられたかと。これで「1」の概念はなんとか掴んだので、やっとその分散を扱う統計学初歩の世界に足が踏み入れられますね。
最大の収穫は「オイラーの方便」なる知見を得た事…
『自然対数の底eと、円周率πと、虚数iと、1と0が、一つの式に贅肉なく、在るべくして在るように納まるこの等式は、もしもこの世に神様がいるとすれば、その最有力の証拠物件として挙げられる逸品だろう』阿良々木暦(西尾維新『終物語』より) pic.twitter.com/Rc1NkP0lYV
— 失敗者bot (@shippaisya) May 21, 2019
むしろ以下の様な「オイラーの剛腕」を探り当ててしまった次第。
- 対数尺の定義上、元来指数関数e^xにおける原点「0」と「1」の間隔は「1」、「−1」との間隔は「1/e(0.3678794...)」。これでは真円を静止的イメージとして捉える事が出来ない。
*実は下のGIFも、スムーズに動いて見える様にする為ある種の「方便」を用いている。
- ところがe^πi=(1±1/n)^nの式はNを十分大きく取ると直径2の真円の形へと収束を続ける。実はこのあたりから既に虚数解(Imaginary solution)のImaginaryな側面の表面化は始まっていた?
*「究極的には」だから嘘はついてない…ただ無限に遡っても到達しないだけ。
- そしてオイラーの公式e^Θi=cos(Θ)+sin(Θ)iに至っては対数尺の痕跡も残ってない。オイラーの等式では絶対に到達出来なかった極限値「−1」も円周上のただの一点に…こうして「我々に認識可能な領域の外側を跋扈する絶対他者」は完全に視野外へと追放される展開を迎えたのだった。
*こうして複素数空間の起源となった「オイラーの原始量(Euler's primitive sweep)=観測原点をすっぽり包む全球型スクリーン」概念、おそらくカンブリア爆発期(約5億4200万年前〜約4億8830万年前)以降、動きの鈍重な放射相称動物(Radiata、ウニやクラゲやイソギンチャクの類)から「目と視覚情報を処理する脊椎」を備えた左右相称動物(Bilateria、カニやエビの様な節足動物の先祖筋)が完全分化した段階で既に備わっていた。歴代の数学者達は、先験的直感に導かれるままそれを再発見してより厳密な形で扱える様に改良しただけとも。
その一方、こうした複素平面の研究がベクトルや線形代数といった極座標系(polar coordinates system)研究の出発点となった様ですね。
「ベクトルの概念に関する簡単な歴史」面白い。意外に最近までベクトルみたいな基本的な概念も整備されてなかったのか。四元数とどっちが基本的みたいな論争が起こってるのも面白い。今の数学もあと百年も経てば新しい基本的な概念ができて簡単に考えられるようになるのかなぁhttps://t.co/OlWQ3uS2Rc pic.twitter.com/WA5kODwJ3l
— lotz△ (@lotz84_) May 5, 2019
間を繋いだのが賛否両論の四元数(quaternion)…
ウィリアム・ローワン・ハミルトン(William Rowan Hamilton)
— 5%の確率で父の名前を漏らすゆいきbot (@my_father_is__) May 24, 2019
アイルランド生まれのイギリスの数学者、物理学者。みんな大好きハミルトニアンの生みの親。数学的には四元数と呼ばれる高次複素数を発見したことで知られるが、四元数に固執したあまり晩年の評価は散々だった。
1843年10月16日の朝.その日は月曜日でした.ハミルトンは妻とともに散歩に出かけていました.ハミルトンがブローガムの橋を渡ろうとしたとき,積年の悩みであった複素数の拡張―四元数をついに考案したのです!彼は喜びのあまり,橋にアイディアを刻み込みましたとさ.めでたしめでたし.
— 複素解析たん (@complex_tan) May 23, 2019
複素数の自然な拡張である四元数には複素単位と同じように基底となるベクトルが実数1を含めて4つあります.1,i,j,kで,四元数はt+ui+vj+wkと表示されます.i²=j²=k²=-1で,この三つの基底ベクトルはij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=jを満たします.
— 複素解析たん (@complex_tan) May 24, 2019
申し訳ありませんが、出来れば触れずに済ませたい…