【数学ロマン】「あるいはサルガッサムで一杯の海」？

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このブログ、先月に続いて今月も月刊PV1万超えが絶望的な状態に。25日過ぎて6千強と先月に増して厳しい状況…

すぐには対策も思いつかないので、当面は予定通り「数理面からの再建」を続けます。ここがしっかりしてないと、そのうちまた行き詰るのが目に見えているので。

数学の門を気軽にくぐってチョット歩いてみたらすぐに進まんようになるし，かといって後戻りもできんし，中で迷子になって抜け出せんし，控えめに言って沼．
— タナカ (@MathTanaka2017) 2020年10月25日

その門をくぐったら途中で引き返してはならない。時計回りに回らないと帰ってこれない。トンネルの途中でよそ見をしてはならない。みたいな話かとw https://t.co/B3WhNoLKPD
— 広江克彦 (@eman1972) 2020年10月25日

いやもう、一度「半径1の単位円(Unit Circle)の軌道」に乗ってしまったら、時計回りに回っても反時計回りに回っても出口への到達はない訳で…

数学の世界において添字集合Xn(n=-Inf(inity)→-3,-2,-1,0,1,2,3→Inf(inity))について、同値を族とするYn=Xnを想定すると、その軌跡は古典物理学でいうところの等速直線運動(Uniform Linear Motion)x(物体の移動距離,単位m(etre))=V(物体の速度で、この場合は一定。単位m(etre)/s(econds))t(経過時間。単位s(econds))で速度V=1(m/s)を選んだ場合と重なる。

そして数列表現上、速度αの増減を等比数列(Geometric Sequence=幾何数列)αn{…αn×a^(n-1)…}={1/Inf:=0,…,1/(d^3),1/(d^2),1/d,d/d=1,d,d^2,d^3,…,Inf}(ただしd=公比(Common Ratio))、初期位置の前後を等差数列(Arithmetic Sequence=算術数列)βn{a1+(n-1)d…am+(n-m)d…}={-Inf,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,Inf}(ただしこの場合の初項(First Term)=-Inf,交差(Common Diffarence)=1)と置くと見慣れた一次方程式(Linear Equation)y=αx+βが成立する。出発点はまずここ。

ところで数学の世界でも物理の世界でも極座標系(Polar Coordinates System)におけるユークリッド距離(Euclidean Distance)sqrt(x^2+y^2+z^2+…)=1が何次元でもあくまで1のままなのに対し、デカルト座標系(Cartesian Coordinate System)においては二次元座標上の平方対角線(Square Diagonal)がsqrt(2)、三次元座標上の立方対角線(Cubic diagonal)がsqrt(3)とどんどん変化していく。この量をノルム(Norm)といい、とりあえず各座標系における単位レベル操作からは切り離して考える。
それでは「各座標系における単位レベル操作」とは何か。まずは一次方程式αx+βからαとβの要素を取り除いた等速直線運動がそうだし、その概念の延長線上に現れる半径1,円周長2πの単位円(Unit Circle)上における等速円運動(Constant Velocity Circular Motion)もその範疇に含まれる。
ちなみにラジアン表示RADn(n=-π→π)は角度を単位円の円周長2πの分数で示す表示方法で、周期2πの三角関数Cos(θ)やSin(θ)に対応する添字集合などに不可欠。

かかるラジアン表現を出発点として等速円運動は動径ベクトル(基準となる原点から運動している物体に引いたベクトルで、等速円運動においては円の中心から物体に引いたベクトルが該当)に注目し、物理学の世界が角速度(Angular Velocity,動径ベクトルが1秒間に回転する角度。単位はラジアン毎秒 [rad/s])ω=θ/t, 周期(Period,1周に要する時間で回転数の逆数。単位s(econds))T=2π/ω、回転数/振動数/周波数((Rotational) Frequency, 1秒間に回転する回数で周期の逆数。単位Hz)n=ω/2πなどの概念で表すのに対し、数学の世界はあくまで角度θn(n=-π→π)に対応するX座標要素Xn(n=-1→0→1)(複素数表現の実数(Real Number)部=Cos(θ))とY座標要素Yn(n=-1→0→1)(複素数表現の虚数(Imaginal Number)部=Sin(θ))の積(Product)、すなわちCos(θ)+Sin(θ)iの形式で表す。

ところで物理学の世界はX軸の動きを等速直線運動、Y軸の動きを半径rだけ離れた重心への無限落下運動として捉え放物線運動-x^2と対応づける。一方数学の世界も(さらに楕円や双曲線関数も加えた)円錐曲線なる概念で一括りに扱おうとする。