今年に入ってから、私の視界内に新たなダースベーダーが現れたのです。
波動関数がどうして無限次元複素ヒルベルト空間内のベクトルなのかを説明しないのかって？それは本文中できっちりやるつもりだ.取り敢えず,こういう本質ではない部分は脇へよけておきたかったのである.
数理再勉強を宣言してから、はや三年目…今年から昨年までに学習した「近世から近代に掛けての数学者の功績」を「オイラー座標系(Eulerian Coordinate System)」なる概念にまとめ現代数学者の業績と比較する作業に入った訳ですが…
まず大前提。人間の認識空間は半径rの円弧(Circle)/球表面(Sphere)状の確率密度空間（Probability Density Space）として構築されています。
①ここでいう確率密度空間（Probability Density Space）はとりあえず「観測結果の連続性を担保する実体」とでも捉えておこう。要するに数直線(Number Line)上の実数(Real)概念と互換性がある概念なのである。
例として、寿命が4~6時間程度(つまり5時間±1時間、平均寿命5時間)のバクテリアがいると仮定する。
①この時、およそ5時間前後で寿命を迎えるバクテリアは沢山居るが、正確に5.0000000000…時間丁度で死ぬバクテリアはまずない。特定のバクテリアが丁度5時間で死亡する確率はほぼ0%なのである。
②ならば5〜5.01時間で死亡する確率はどうだろう？ 例えばこれが2%だとすると、その1/10の範囲の5〜5.001時間である確率は？ 答えはおよそ2%×1/10=0.2%となる。
③さらにその1/10の範囲の5〜5.0001時間である確率は、およそ0.02%となる。
こうした例において「特定の時間範囲内に死亡する確率をその範囲の長さで割った値」に着目すると、1時間につき2に定まる。例えば5〜5.01時間の0.01時間の範囲でバクテリアが死亡する確率は0.02であり、確率0.02÷0.01時間=2時間^−1である。この2時間^−1（毎時200%）という量を5時間時点での確率密度と呼ぶ。従ってバクテリアの寿命が5時間である確率を問われた時、真の答えは0%となるが、実用的な答えは(2時間^−1)×dtとなり、それは無限小の時間範囲dt内で、バクテリアが死亡する確率である。例えば、丁度5時間〜5時間+1ナノ秒の寿命である確率は、(2時間^−1)×1ナノ秒≈6×10^−13となる。こうしてf(5時間)=2時間^−1と表現したのが確率密度関数(PDF=Probability Density Function)fであり、fを任意の時間範囲（微小に限らない）で積分することで、当該時間範囲内でバクテリアの寿命が尽きる確率を求める事が可能となるのである。
- そう、この概念は平均値(Mean,ここでいう「バクテリアの平均寿命=5時間」)と分散(Variance,ここでいう「バクテリアの平均寿命のバラつき具合=±1時間」)の二つのパラメーターによって全体像が定まる正規分布(Normal Distribution)概念の出発点ともなる。
- その正体は中心極限定理（CLT=Central Limit Theorem）そのもの。
分散の概念に到達しなかったガウスは、この分布を「究極の答え=中心は必ず計測データに捉えられるとは限らないが、その平均値として推測される」「外れ値が小さい観測結果ほど現れやすい」「逆を言えば外れ値が小さい観測結果ほど現れ難い」と捉えた。
- 観測原点(Observation Origin)から観測対象(Observation Target)までの距離が計数可能(Countable)な範囲内なら均等尺(Even Scale)が適用される。
順方向(中割り二枚)
逆方向(中割り二枚)
そして中割り一枚ではどちらにも見える。
所謂数直線(Number Line)も、観測原点(Observative Ologin)Od(d(imesion)=1→n){0,0,0,…}一点で座標系(Coordinate System)に繋ぎ止められているだけなので、実際には同心円集合(Concentric Set)/同心球面集合(Concentric Sphere Set)を構成する。
符号概念の導入。Y=0を基準線(Base Line)として導入した場合。
符号概念の導入。X=0を基準線(Base Line)として導入した場合。
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観測原点(Observation Origin)から観測対象(Observation Target)までの距離が計数不可能(Uncountable)な無限遠(Infinity)の場合には対数尺(Lograrithmic Scale)が適用される。
順方向(中割り二枚)
逆方向(中割り二枚)
やはり中割り一枚ではどちらにも見える。
地平線や水平線(Horizon)を描画する透視図法(Perspective Projection)はこの原理に基づいている。
こうした検討の末にたどり着いたのが、最初は小学生の授業で教わる等比数列(Geometric Sequence=幾何数列)An(n=-Inf(inity)→0→Inf){…,A0×r(n-1),…(ただしA0=初項(First Term),r=公比(Common Ratio))}={1/Inf:=0,…1/r^2,1/r,r/r=1,r,r^2,…,r^Inf:=Inf}において公比(Common Ratio)が負数の場合。i^2=-1なので例えば-1^x=(0±1i)^2xと書き直せる訳ですが、その結果現れたグラフときたら「謎の40周期展開」…
で、慌てて複素関数の入門書を読み出したら、そこで指摘されていたのも波動関数との連続性だったのです。昨年の今頃あれほど抵抗を示していた群論に結局踏み込むのを避けられなかった様に、来年の今頃は…そんな感じで以下続報。
