まぁ「数直線が無限遠点Infを無限小-Infと無限大Infに分割した影響」を調べてたら、当然出てくる訳です。しかも今や「何でそんな定義になったか」なんとはなくは理解しつつあるという…
今回のソースはこちら。
複素指数関数型フーリエ級数展開の演算領域において棒型タワシ状態を担保しているのは多価関数の分岐点(Branch Point)ごとの分枝切断(Branch Cut)が生み出す螺旋構造、すなわちリーマン面(Riemann Surface)の形成である。
これに関してオイラーの公式exp(xi)は一体どういう作用をもたらすのでしょうか？ とりあえず分かっている事を列記してみます。
- -Inf→0→Infの範囲の均等尺を0→1→Infの範囲の対数尺に射影すると、虚軸2の座標がexp(1)(2.718282)、虚軸-1の座標がexp(-1)(0.3678794)へと限りなく近づく。
- 複素自然指数関数exp(xi)は添字として与えられた複素数iの実軸と虚軸双方に影響を与える。その結果、π×(0+1i)の座標は(2,0),π×(0-1i)の座標は(-2,0)に限りなく近付き、途中座標はそれぞれ(1,0)(-1,0)に対して均等な距離を保った円を描く(オイラーの等式)。
- Cos波はこの座標変換を実軸側から観測した場合のexp(1)とexp(-1)の平均、Sin波はこの座標変換を虚軸から観測した場合のexp(1)とexp(-1)の平均に他ならない。
分かった様なわからない様な…いずれにせよこの座標変換を縦軸、すなわち(極座標系で表される)半径1の単位円とこれを原点とする(自然指数関数により0からInfの間の値として表される)リーマン面の添字集合に適用すると現れるのがリーマン球面（Riemann sphere）となる様です。
これも数直線が無限遠点Infを無限小-Infと無限大Infに分割した影響の一つ? ああ、今度はメビウス変換(Möbius Transformation)が怖い…
ちなみにローラン級数（Laurent series）のマクローリン変換にも挑戦してみましたが、こんな感じ…
そういえば以下で基本中の基本1/(1-x)のテイラー展開を試してませんでした。吃驚するほど収束が遅い!!
ついでに1/(1-x)^2のテイラー展開
次いで1/(1+x)のテイラー展開
そのアップ。収束遅い!!
ついでに1/(1+x)^2のテイラー展開
そして1/(x*(1-x))の原点0周りでのローラン変換
1/(x*(1-x))の原点1周りでのローラン変換
符号を逆にしてみたら混沌が広がりました。
詳しい解説は以下続報…
