以下でいう「単リーマン円筒」
以下でいう「単リーマン球面」
以下でいう「複リーマン円筒」
以下でいう「複リーマン球面」
今回の投稿の発端は以下のTweet。
個人的メモ「一極球面状観測集合」①任意の中心座標[0,0,0,…]から任意の角度θ(0~2π,0~2π,0~2π,…単位ラジアン)に向け任意の距離(0~∞,0~∞,0~∞,…)だけ放射状に伸ばされた観測結果群(Observation Set)は一極球面状観測集合(Unipolar Spherical Observation set)を構成する。 pic.twitter.com/16PVs3kKUG
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
②幾何学的にこれは位相幾何学的(Topological)には一次元的には数直線状(-∞~0~+∞)、二次元的には円弧状(半径0~∞)、三次元的には球面状(半径0~∞)に観測点が分布する事を意味する。https://t.co/5zTju2Zyo4
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
③便乗上以降、各観測点(Observation Elements)間の角度関係が全く明らかに出来ない状態を「名義尺度(Nominal Scale)のみの成立」、少なくとも特定尺度における順番(観測距離(Observation Length)の大小)が峻別可能な状態を「部分的順序尺度(Partial Ordinal Scale)の成立」と表現する。 pic.twitter.com/up0w573xGs
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
統計学ではかかる線状分布の上の観測結果群が(テスト結果や身長体重の様に)単一の尺度しか持たない場合その平均(Mean)と分散(Variance)を求める。計算式中で「平均以上」と「平均以下」の符号を消している事、中央値の様に「平均 =分布の中心」と考えない場合もある点に注意。https://t.co/RVPzwdAd22
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
④観測限界(Observation Limit)は事実上イプシロンデルタ論法によって定義され、整数や実数の様な連続尺度も等差数列αn=α+α(n-1)や等比数列α^n=α*α^(n-1)の一般項への代入により無限への発散が証明される。一方、観測限界0の場合は観測集合が空集合しか構成しない。https://t.co/SsfNYDzsqo
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
「二極紡錘状観測集合」…①平面上で展開されるユークリッド幾何学においては「二点間を結ぶ直線は1つしかない」と考える。一方、ここでいう「一極球面状観測集合」の場合は三角不等式‖x+y‖<=‖x‖+‖y‖について‖x+y‖=‖x‖+‖y‖となるたった一つの場合を直線と考える。https://t.co/BXLGu928dp
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
そう、余弦定理Z^2=X^2+Y^2+2XY=Cos(θ)でθがπラジアンとなる場合。さらにこの直線に第3点から垂線を下す角度が定まらない=確率が均等と考えれば、それは(直線上の任意の地点ごとにユニークな半径を備えた)二極紡錘状観測集合(Bipolar Observation Set)を構成する。https://t.co/1mahzZIj6L
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
その最も簡単な実現例は「半径が終始変わらない円筒座標系(Cylindrical Coordinate System)」。例えば半径=1と置いて「整数=周回数の離散集合」と「有理数=2進法や10進法の様な離散集合(ただししの間隔は無限に狭めていける)」を組み合わせる事で任意の有限小数が表せる。https://t.co/gArs9L4NJu
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
一方、半径>1の時は回数ごとに半径が縮小、半径<1の時は回数ごとに半径が拡大して円錐型座標系(Conical Coordinate System)を構築。とりあえず相加相乗平均の不等式(X+Y)/2≧sqrt(XY)が(X+Y)/2=sqrt(XY)となる「X+Y=0(X=Y)」の比率(1対1)で垂直尺と水平尺を対応させると…https://t.co/xwjEEn5zj5
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
縦回転に対して「完全水平時=円」「完全垂直時=45度ズレた円錐壁面上の射影」「傾き1=放物線」「水平~傾き1=楕円」「水平~傾き1=楕円」「傾き1~垂直=双曲線」の円錐曲線が次々と観測集合の射影としてこの座標系上に現れる。 pic.twitter.com/8PITB1dPhg
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
そう、これは惑星軌道の計算などにも用いられる離心率概念そのもの。https://t.co/jsQ738etjf
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
まとめると、まず整数/実数/有理数の様な分散集合が「半径1の円錐座標系」の表面に射影され… pic.twitter.com/vWTkCn7c2e
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
まとめると、まず整数/実数/有理数の様な分散集合が「半径1の円錐座標系」の表面に射影され… pic.twitter.com/vWTkCn7c2e
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
さらに縦回転も横回転もe^θiで表すなら、任意の端点が(自明の場合として)対応する対蹠を得て球面座標系を構築する様に。 pic.twitter.com/4mEETy3Q2B
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
GIFが1投稿に1枚しか貼れない制限が辛い…最近「単/複リーマン円筒/円錐/球面」で色々感がせている事が多く、情報共有がてら投稿。https://t.co/FCFPAjwBoe
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年11月13日
そんな感じで以下続報…
