とうとう今年も12月。そろそろこういう話も纏めに入らないと…
今回の投稿の発端は以下のTweet。
個人的メモ。「主成分分析による次元削減の簡単な例。コロンブスの卵。確かに直行する2次元評価軸上の分布について①「傾き」を求める。②それに直行する「傾きの逆数」と「交点」を求める。③「傾きの逆数」分布が0になる観察方向を見つける。これで1次元削減出来る?https://t.co/Dn32rZYGjq
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月2日
これは曲座標系の水平回転(回転行列を使った演算)と垂直回転(ユニタリ行列を使った演算で最終的には虚数情報を切る)に対応する。あれ?行列式や固有ベクトル・固有値の関係をちゃんと対応させられてるかな?https://t.co/QhYLAEhicg
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月2日
そう「行列式=0(逆行列が存在しない=次元が一つ潰れてる)」状態こそが次元削減?https://t.co/97xDVSb05H
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月2日
一方、行列式が1であるとはどういう事?https://t.co/VNW6KL0LpD
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月2日
もちろんプログラミング知識があれば誰でもそれに投げる形で演算結果を得る事が出来ます。でも全体像の幾何学的イメージがちゃんと把握出来ないとそれをグリグリとプロッター上でぶん回せないんですわ。https://t.co/7xZZJ4kMf0
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月2日
pythonだとsympyの担当分野ですな。https://t.co/Os0ykNR4t6
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月2日
もう本当に「ただ投げるだけの簡単なお仕事」。https://t.co/VwF6YybOfW
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月2日
ただしいまだに「ジョルダン標準型」の考え方も使い方もわからないという…https://t.co/SIH9lhudo4
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月2日
ところで、ここでpythonが突如「バベルの塔」状態に。sympy「僕は3次行列以上は解かないよ。だってα^n=α×α^(n−1)とかの繰り返しだろ?」。pandas「時系列データなら別モジュールで扱う様になったよ」。numpy 「何次元行列でも一気に演算するよ」。この対応のバラツキ自体がミステリー…
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月2日
そして…
数理メモ。そういえばpythonのnumpyだとcov関数が共分散行列、corrcoef関数が相関行列を返すんですね。https://t.co/RVPzwdAd22
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
要するに主成分分析とかさらなる上位の利用を想定した出力。https://t.co/epmvl3wALx
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
私が良く口にする「演算を(観察角度の推移といった)幾何学的解釈に還元したい」なる考え方「正の相関が1,負の相関が-1,無相関が0」となる相関係数までは実践が比較的容易。 pic.twitter.com/Hv4gXoykYo
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
例えば「円錐の斜めの切り口」とかイメージすればいい訳です。これはまだ簡単な部類…要はこの考え方の延長線上で「固有値・固有ベクトル」の考え方も処理したい訳ですが、なかなか… pic.twitter.com/b3inQwbiRD
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
おや?もしかしたら「相関係数が1ないしは-1となる場合」って「円錐座標系上の二次曲線(楕円,放物線,双曲線)が放物線となる場合」に合致する?https://t.co/jsQ738etjf
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
離心率を用いた演算で二次曲線を表すとこんな感じ。 pic.twitter.com/Vz1OXLjC5A
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
で、円錐座標系がこんな感じ。 pic.twitter.com/b5EWL3rUG8
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
円錐曲線の考え方。ああ、なんか一つの座標系にまとめて表示可能な気がしてきましたよ。その数理的意味合いはともかくとして… pic.twitter.com/BfDA888bh6
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
xyz座標までは「直交(π/2)」の積み重ねに過ぎないけど、ここで突如として「斜行(π/4)」問題が現れるのが面倒臭いところ。 pic.twitter.com/ZAuO0BR7JS
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
はっと。「相関係数は水平回転、離心率は垂直回転」この辺りにヒントが?
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
ヒントも何も「横に45度(π/4ラジアン)、縦に45度(π/4ラジアン)回した結果、観測結果が直線になる」だけ?要するに「直径-1→0→+1の偶数球面(半径と直径の交換が2^n単位での目盛を構成)と傾き1の円錐座標系(リーマン球面表現=奇数系球面)こそが偶奇概念の起源」とも? pic.twitter.com/cLNDlHdugq
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
もはや必須とまりつつある「円錐座標系とリーマン球面座標系の往復」概念… pic.twitter.com/nyelxp0sKH
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
はっと、もしや「リーマン球面への円錐曲線(円,楕円,放物線,双曲線)の射影結果はずっと円のまま」なの?
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
「可視化された無限遠点」ともいうべきリーマン球面概念、一見難しそうに見えて「満天の青空や夜空(プラネタリウム的天蓋)」とかブラックホールの一般的イメージとか新海誠監督映画「すずめの戸締まり」における常世とか割とありふれてる概念という…
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月3日
そんな感じで以下続報…