「単極球面体」の各半径を「虚数」と呼んで良いかは現在審議中…
今回の投稿の発端は以下のTweet。
「一極球状体から二極紡錘体へ」数理メモ。この多様体拡張に使う写像について、やっと納得のいう説明を発見。https://t.co/LJH2lLwi1o
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月12日
まず前提となる「定義域と値域」「始域と終域」「単射、全射、全単射」概念の関係について。https://t.co/LJH2lLwi1o
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月12日
まぁ一言でいうとこれ。そして「全射影が存在する場合のみ逆射影について考える」と規約する。 pic.twitter.com/7UatBJVn93
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月12日
そしてこれが以前の投稿における「単極球状体」と「双極紡錘体」の説明。要するに前者は「点」概念、後者は「線」概念の拡張。前者から後者への拡張は「点Aと点Bについて線分ABと線分BAが等価となる事」。 pic.twitter.com/BglOzhkHuK
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月12日
かかる「線分AB=線分BA」の区画を1と考え、その鎖状連鎖を考える事で「数直線」概念が派生する。 pic.twitter.com/KXyJpSc9y1
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月12日
「線分AB=線分BA」とはつまり「点Aを始域、点Bを終域とした場合」と「点Bを始域、点Aを終域とした場合」が全単射関係=逆写像関係にある事をいうが、この時点ではそれぞれの写像が球状の自由度を備える為、我々が一般に想像する「線状」には到底見えない。 pic.twitter.com/xidLw5S4kZ
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月12日
そこで「偶奇演算の繰り返しによって無限遠点まで一直線に伸びる」鎖状連続体が無限遠点で接続し全体として円を構成していると考える。「直線」とは要するにこの円環構造を無視し得るほどまで拡大された部分集合の事である。 pic.twitter.com/AGEmuYECLG
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月12日
ここまでが昨年年初に提示した「人類は如何にして地球平面説から脱するのか」なる設問への自分なりの解答。「無限遠点とは距離1の平行線が交わる地点である」なる説明、実は統計学における「標本分散適用範囲と不偏分散適用範囲の境界線」概念と密接に関わってくる?https://t.co/pmdgRTBsfb
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月12日
これで私の座標系における「点」概念と「線」概念のあらましは確定した。なら次の一歩は?「単極球状体」を「同心球面集合(観測原点0から等距離の球面の積層)」と数理的に分解再構成する時、「双極紡錘体」は「2点間を結ぶ共軛集合(始点と終点を結ぶ直線距離と曲線の形を共有する回転写像)」となり…
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月12日
途中だが、ここでChatGPT援用。
個人的メモ。最近まとめてる「文系人間が文系人間向けにまとめた文系人間用幾何学(以下「文文文」)で使ってる用語を、最近流行のChatGPTに解説させてみたよ。まずは「単極球面体(Monopolar Sphere)」について。 pic.twitter.com/OWMQwU5AV7
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
分子科学的にまとめてきましたね。「文文文」における定義は「虚数=実数部を超越した次元の実数部からの不完全な見え方」と規約した上での「実数部=観察原点0から任意の方向に任意の距離だけ任意の数だけ配置された虚数頂点の集合(名義尺度でのみ把握可能)」というもの。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
だから見え方としてのイメージは「球面」というよりこんな感じ。概ね虚数集合は「全部合計すると0になる」と規約されますが、この最も原資的な段階においてのみその保証さえありません。 https://t.co/sbbXqhTiZ6
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
次いで「双極紡錘体(Bipolar Spindle)」まぁ元イメージが「細胞分裂の途上で中心体を両対蹠とする球面の赤道上に染色体が一列に並ぶ景色」なのを受けChatGPTもその路線でまとめてきました。 pic.twitter.com/Rhcub1xYZB
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
「文文文」では(「単極球面体」がユークリッド幾何学における点概念の虚数論的拡張であった様に)ユークリッド幾何学における線概念を実数部と置いた場合の虚数論的拡張と定義。「二つの頂点ABを結ぶただ1つの直線(距離AB=距離BA)」を反転(回転させ反対方向の向きで重ねる)させる際の軌跡として生じる…
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
非ユークリッド幾何学における「2点間を結ぶ直線は無数に存在する」に対応。ただし「文文文」における用例は、ほぼ①任意の方角への影響を受けない「回転体」で②「直線AB→直線BA」に対する「直線BA→直線AB」の様な反転操作の計がゼロになる「共軛集合」に限定。一番典型的な現れ方は…
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
「対蹠=球表面上に均等分布する2点と赤道=球表面を2分する対蹠から等距離の直線」となります。で、この球面を連続して並べたのが「線状連続体(Linear Continuum)」。フーリエ変換に登場する「観測原点0より数直線上の正負の方角に伸ばした直線が無限遠点の先で交わる」概念を導入すると… pic.twitter.com/EoJeGEJ834
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
あら不思議。「半径♾で(すなわち周長2π♾の」「双極紡錘体の実数部と虚数部を入れ替えた図形」が登場します(大半径R=1、小半径0の比率の時のトーラス 図形)。https://t.co/08qt6iXGET
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
ただ文系人間は、こうした多様体拡張を無限に続けられません。その諦観から関心範囲を「(球面を6頂点に均等分割した)正方対角線と正八面体と正四面体の世界」と「(球面を8頂点に均等分割した)立方対角線と立方体の世界」と統計概念に絞ろうといういうのが「文文文」の元アイディア…
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
いやはやここまで全体像をまとめるのに5年もかかってしまいました。とりあえずここでいう「局所に注目すると直線だが全体としては円を構成している不思議空間」こそが昨年冒頭に目標に掲げた「地球平面説の数理的打破」への最終解答になっています。https://t.co/pmdgRTBsfb
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
21世紀の文系人間、これくらいの数理は最小限でも安易とこなせなければ「文系人間」に座にすら留まれなくなってしまうというのが、私の見立て。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
ここでいう「文文文」って「特徴抽出対象をひたすら(解析学でいう)偏微分で線形分解して(線形代数を用いた)連立一次方程式によって再構築していく」機械学習の仕組みの出発点でもある訳で、究極的にはChatGPTもこの原理で動いてる筈?https://t.co/Vb0eF5dvqT
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
そういえばChatGPTは双極紡錘体を「楕円状」と表現したけど、実際には細胞分裂の時に現れるのも「文文文」で使うのもラグビーボールみたいな楕円(半円状)の回転体なんですな(しかも「文文文」では原則としてほとんどその特殊形態たる球面を構成する場合にしか触れない)。https://t.co/C1sp3EHOsF
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
チョムスキーさんもちゃんと機械学習理論を学ぶと①人間の脳は概ね三次元くらいの情報しか扱えない。②その範囲で機械学習が苦手とする評価軸だけ逐次取り出して人力で改善するのが最善パターン、としか考えられなくなるのに… https://t.co/8KfOrJMrCv
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
あくまで現時点における何となくの予測なのですが①機械学習は原則として終始「線形連続する双極紡錘体」の形で特徴抽出と演算展開する。②「カンブリア爆発期に獲得した視覚と視覚情報を処理する脊髄から出発した人間の数理直感能力」は平方対角線や立方対角線でも考えられる、みたいな住み分けに?
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
おっとこの系統に連なる「円錐座標系」の話を忘れてた…とりあえずメモがてら。 https://t.co/GLOuKPI3k8
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
さらにはこんな予告もしていた事も思い出すなど… https://t.co/SvyDNr2tfH
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2023年3月17日
そんな感じで以下続報…