おおむね数学的に優位な幾何学的操作に「アフィン変換における剪断」の出番はありません。
それはむしろイデオロギー方面にける「元来は多方角に広がっている意識のベクトル」を一方向に視野狭窄させ膨大なスカラーを得る為のテクニック」に通じる話? これまで「相関係数=楕円の回転」で捉えてたけど、確かにこちらの考え方の方がしっくりくる…まだ数理的イメージの積み上げが必要とはいえね。
今回の投稿の発端は以下のTweet。
数理メモ。カンブリア爆発期に生物が獲得した「眼」と「視覚情報を処理する脊髄」にはせいぜい三次元座標系までしか扱えない生得的バグがある。これを克服する為にブルバキら数学ラディカリストは「幾何学を忘れよう。代数にこの制約はない」と提唱。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月18日
その一方で「二次元以上はまともに扱えない」現実を受容し線形代数(連立一次方程式)と解析(微分と積分)の組み合わせによって処理オーバーフローを抑え込む考え方が登場してコンピューター数学の基底となり、さらに確率論や統計学のノウハウも導入する形で現在の第三世代人工知能ブームが到来した次第。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月18日
後者の数理をゼロから構築する場合について考える。まずは長さ♾の一本の直線から出発しよう。その長さは0→♾とも♾→0とも数えられる。とりあえず前者を符号+、後者を-に対応させる。二次元で考えた場合、この直線はその二次元空間を二分する事になるが、この時点ではまだそれを峻別する方法がない。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月18日
さらに加えられる3点目がこの直線上にある事は三角不等式の等号条件で与えられる。この演算の導入と同時に2π=1(回転)なる規約も導入される。また相加相乗平均不当式によりこの直線上の中点も検出される。それはα(n)=α+α(n-1)で規約される等差数列とα^n=α*α^(n-1)で規約される等比数列の交点でもある。 pic.twitter.com/41q6H3bt89
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月18日
こうして「∞/2=∞」なる規約に依存する形で+(0→∞)=-(∞→0)=全体(-∞→0→+∞)という全体構造が成立するが、要するにこれが線形性f(ax+by)=af(x)+bf(y)概念の出発点。さらにこの空間では半回転(πラジアン回転)が-1^n(n=0の時1)すなわちスカラーの-倍に対応するのが重要。https://t.co/x8jiMvbIUX
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月18日
そろそろ「生物が生得的に獲得している幾何学処理能力」が悲鳴を上げ始めるので、ここで便利な方便を導入しよう。「全体の長さは2だが無限(-∞→0→+∞)に目が振られたリーマン直径」である。この様な数列=集合は演算α^(-|x|)によって簡単に得られる。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月18日
この様な直線を中点を中心に半回転させれば、0→+∞の範囲が通った範囲を「+象限」、-∞→0の範囲が通った「+象限」と峻別され、同時に全体構造として半径1の単位円(目盛の振られ方に注目すればリーマン円)が成立する訳である。 pic.twitter.com/UZUssTe8uy
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月18日
ここにさらに「π(半回転)=π/2(1/4回転)*2回」なる考え方に対応させる為に「虚数=i^2=-1(半回転)」規約を導入したのが複素数平面。なぜこんな方便が必要となったかというと「1次元演算でこういう二次元イメージが展開可能だと色々便利だから」。実際、電気工学などの分野で役立った。 pic.twitter.com/4mKbWJvNxB
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月18日
実際「複素数演算」の普及には電気技師にして物理学者だったこの人の活躍が欠かせない。こうして人類は「直交=無相関=元直線上で0となる地点で距離が等しくなる方角」なる概念に到達。https://t.co/783FoAHeUe
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月18日
さて、こうやって「-∞→0→+∞の評価軸」を2個直積させた四象限空間に、さらに三番目の「-∞→0→+∞の評価軸」を直積させ八象限空間としたい。角度としてはさらに半分の45度(π/4)の世界。ここで登場するのが「傾き」「対角線」「円錐座標系」の概念。 pic.twitter.com/jvRaI0TtZz
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月18日
だがこの辺りで改めて「生物が生得的に獲得している幾何学処理能力」が悲鳴を上げ始めるのである…
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月18日
なにしろここから先へはα^nのαがネイピア数(2.71828…)と規約した自然指数・自然対数関数の世界に突入するのである。だが、どうして? pic.twitter.com/w1FGSVYkp9
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月18日
まずは水平面の話に戻ろう。座標(x,y)=(1,0)→(0,1)→(-1,0)→(0,-1)→(1,0)ないしは複素数1+0i→0+1i→-1+0i→0-1iの交代性を「距離1をそのまま維持」した形で維持するならば三角関数の出番となり、全体がcos(θ)+sin(θ)iないしは回転行列演算の形で表される。i^2=πi=-1から導出される自明の場合。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月19日
ところが座標(x,y)=(1,1)→(-1,1)→(-1,-1)→(1,-1)→(1,1)の交代の場合、半径は√2となる。要するに「円の外接正方形と内接正方形」ないしは「正方形の内接円と外接円」の「半径」は2^(n/2)のオーダーで増減する。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月19日
二次元空間に厚みの概念を追加する「z軸=高さ」概念のヒント。ここで欲しいのは「原点0と距離±1に置かれた半径1の単位円を結んだ円筒座標系(傾き1)」であり、α^n演算がα=2の時の傾きは1未満でα=3の時の傾きは1以上である事から挟み撃ち法でネイピア数(2.71828)が求まる。 https://t.co/WOZJyc0GoL
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月19日
その事にどういう意味があるのか。順を追っての説明を試みる。①人類は対数や指数を「乗除算を加減算に置き換えたり、その逆を行う演算」として発見したが、その正体は-♾→0→+♾の等差数列と0→1→♾の等比数列の間の射影による往復だった。https://t.co/OAK8LMaGIY
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月19日
等差数列の-♾を等比数列の0に。等差数列の0を等比数列の1に。等差数列の+♾を等比数列の♾に。こうした射影の結果、等比数列における「等差数列1の位置」にexp(+1)が、「等差数列-1の位置」にexp(-1)が現れる。xy=1の反比例式のxy軸にexp(+x)とexp(-x)が現れる(可換)。そして…
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月19日
「反転」に「任意の直線の中点を垂直に貫く回転軸」が必要だった様に「転置(xy軸交換)」には「関数y=x(傾き1)あるいはタンジェント(π/4)=1あるいは対角線に拠る回転軸」を必要とするという考え方もある。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月19日
ここで重要なのは「水平軸cos(θ)+sin(θ)i (回転行列)、垂直軸exp(φi)(ユニタリ行列)と置く座標演算では二次元配列までしか使わず、三次元配列まで意識する必要がない」点。そう、この一見複雑怪奇な演算方法の複合の主目的は「人間にプリセットされている天然座標系の限界をカバーする」事だった?
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月19日
そういえば線形代数のいわゆる「固有値・固有ベクトル」問題で扱うのはアフィン変化のうち「回転と拡大縮小の複合」のみで剪断操作は扱わない。https://t.co/LhUVfHuk9t
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月19日
行列式自体は同次座標系によって回転・拡大縮小・平行移動を一貫して扱えるにも関わらず。どうやらこのあたりにも「人間の先験的イメージ能力の限界」が隠れ潜んでいる様だ?https://t.co/fmO1Pln9Fc
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月19日
さらに最近まで「円錐曲線(離心率演算によって円錐の断面を「半径1の円」「楕円」「放物線」「双曲線」と推移させてくやつ)」を熱心に調べてて「この円錐座標系をリーマン球面に射影すると単なる円の回転になる」という結論に到達しましたが、この辺りも演算整備が今ひとつ。https://t.co/jsQ737Wk57
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月19日
「主成分分析(PCA)に拠る次元削減」もまた、どうやら結局は「固有値と固有ベクトルの検出による回転と拡大縮小操作」に過ぎず剪断概念は用いない模様?https://t.co/Dn32rZGx5i
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年12月20日
そんな感じで以下続報…