【雑想】自然指数関数と自然対数関数と単位円の関係について。

冪演算（Exponentiation）Y=X^NやY=Xi^Nは次元数が上がれば上がるほど増率が加速し、以下の形に収束していきます。

• Y=±Xi^±Nの極限=x=-1,半径1の単位円の直径分({0,-1}-{0,1}),x=1
• X=±Yi^±Nの極限=y=-1,半径1の単位円の直径分({-1,0}-{1-0}),y=1

もちろんX=±Yi^±NはY=log(±Ni,base=Xあるいは1/X)の形に直せますね。ここで興味深いのは実数のみの式でも虚数が観察される点。

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以下のX=Yi^N→Y=log(N,base=Xi)のPlotは（とりあえずX軸とY軸を入れ替えただけなので）随分と荒いですが、むしろそれゆえに問題の本質が見通しやすくなってる？

 指数関数や対数関数では向きの変更があります。

• Y=e^Xiの極限={-∞~0,0~1},{0,1},{0~1,1~∞}
• X=log(Xi)の極限={0~1,-∞~0},{1,0},{1~∞,0~1}
• Y=e^-Xiの極限={-1~0,∞~1},{0,1},{0~∞,1~0}
• X=log(-Xi)の極限={0~1,∞~0},{1,0},{1~∞,0~-1}
• Y=-e^Xiの極限={-∞~0,0~-1},{0,-1},{0~1,-1~-∞}
• X=-log(Xi)の極限={-∞~-1~1,1~0},{-1,0},{-1~0,0~-∞}
• Y=-e^-Xiの極限={-1~0,-∞~-1},{0,-1},{0~∞,-1~0}
• X=-log(-Xi)の極限={-∞~-1,-1~0},{-1,0},{-1~0,0~∞}

その一方で全体的に表示スケールの問題が…

y≧exp(x)
y≦log x
を縮小してみたの図 pic.twitter.com/6fVVh043gS

— ａｐｕ (@apu_yokai) September 25, 2019

二次関数ですらこうなりますからね pic.twitter.com/ShZ8B1qOlg

— がーと@低浮上 (@kinder_Gart_en) September 25, 2019

そうすると
縮小攻撃に対して最も耐久力があるのは一次関数？

— ａｐｕ (@apu_yokai) September 25, 2019

いや、対数螺旋も強いな！

— ａｐｕ (@apu_yokai) September 25, 2019

あー確かにそうですね！
log r(θ)/a = 1/λ log r(λθ)/a
他にもあるような気がしましたが思い浮かびませんでした(><)

— がーと@低浮上 (@kinder_Gart_en) September 25, 2019

中心に示唆されているのは常に半径１の単位円ですが、所詮は数の暴力の前には無力？