今年数学初学者として経験した最大のパラダイムシフトかもしれないのに、最初に思いついた言葉が「破れ網タイツ三昧」…まさにそうとしか表現しようのない景色が、突如として目の前に広がってしまったのでした。
本当は小中学校段階から教えても不思議じゃない基本概念とすら思えてきましたが「余計な性癖に目覚めたらどうする!!」とPTA辺りから苦情が入るので実現は難しいかもしれません。むしろ現実は本末転倒で、網タイツフェチの人もこの幾何学的美しさに圧倒されたと考えるべきだとは思いますが…
数直線概念(Number Line)から同心円集合概念(Concentric Set)へ(符号概念導入以前)
とりあえず円を描く関数の集合を円関数集合(Circular Function Set)と置きます。そのうち「半径rの円」についてピタゴラスの定理(Pythagorean theorem)r=sqrt(x^2+y^2+z^2+…)から出発する最も直接的な表現は複素数表現(Complex Representation)=極座標表示(Polar Coordinate Display)における「絶対値(Module)=r,偏角(Augment)=θ」となります。
とりあえずの見え方としては反時計回りで、偏角(Augment)=θ{0→2π}の推移0→2πがこの向きを担保(Collateral)する形ですね。
「コラテラル・ダメージ（Collateral Damage）」は、2002年に公開されたアーノルド・シュワルツェネッガー主演のアメリカ映画。
タイトルの「コラテラル・ダメージ」とは直訳すると「副次的な被害」であるが、そこから「戦闘における民間人被害」や「政治的にやむを得ない犠牲」というニュアンスで使われるダブルスピークである。
とはいえ符号概念(Sign Concept)がまだ未導入なので偏角(Augment)=θ{0→-2π}の推移0→-2πとしてもそこにそれだけでは特別な意味は生じないのです。そう、オイラーの公式(1±πi/N)^Nの±符号の様に…
- むしろこの段階は「観測者(Observer)が勝手に回転の向きを補完する」共役イメージで捉えておいた方が良さそうである。
- ちなみにこの段階において既に3次元以上の空間概念も含んでいる。可視化された球面がN次元の広がりを有し、観測された点がそれらとどういう関係にあるかこの時点では不明である点に注意(これは「統計空間」の特徴でもある)。
X-Y座標への符号概念(Sign Concept)導入に伴って発生する「空間分割(Spatial Division)」問題
X-Y座標系への意識は符号疑念(Sign Concept)の導入から始まります。
①直線y=0を軸線に選ぶとxの値が+1から-1(-1から+1)にかけて推移するのに対して、yの値は決して0以下(0以上)にならない。
これは円関数集合(Circle Function Set)でいうとCos(θ)+Sin(θ)iに該当する。
②直線x=0を軸線に選んだ場合、yの値が+1から-1(-1から+1)にかけて推移するのに対して、xの値は決して0以下(0以上)にならない。
これは円関数集合(Circle Function Set)でいうとSin(θ)+Cos(θ)iに該当する。
③両方同時に採用すると、線形に連続する観測データが四象限に分割表示されたりする。その時基準線を供給するのはもはやX=0でもY=0でもなく関数Y=Xである。
物理学の世界(The Set of Physical Things)におけるZ軸への時間概念(Time Concept)の導入
こうした問題を回避する為、物理学の世界(The Set of Physical Things)においては、概ね「Sin(θ)関数とCos(θ)関数は等速円運動(Constant Velocity Circular Motion)のX軸方向からとY軸方向からの観測結果(Observation Results)から得られる」と説明します。
- Cos関数やSin関数の正体自体のについての言及は避けつつ、それがどう現れるかの記述に徹底する巧妙な方便?
- そしてここから自明の場合(Trival Case)として(円描画に要する時間をZ軸に配した)単位円筒(Unit Cylinder)の概念が派生してくる訳である。
XY軸(円弧)
ZX軸(Cos波)
ZY軸(Sin波)
これが周回自体を周回単位(Cycle Unit)に繰り込んだ添字単位(Index Unit)表現へと発展する。円筒座標系(Cylindrical Coordinate System)とも。
とりあえずここまでが、それまでの投稿の復習。そして…
①そもそもCos(θ)関数の正体は直径{-1,0,1}(距離2)における右端(1)→中央(0)→左端(-1)→中央(0)→右端(1)の往復。それぞれの区画を等差数列風表現(Arithmetic Sequence Style Expression)に分解すると1辺がsqrt(2)の正方形が現れます。案外面倒なのが三角関数表現(Trigonometric Function Expression)に対応させる為の「増減の向き合わせ」だったりします。
- 右端(1)→中央(0)…等差数列風表現における定義「初項(First Term)0,交差(Common Defference)1」を逆転させた場合。
三角関数表現では1-cos(0→π/2)=sin(0→π/2)と表される。 - 中央(0)→左端(-1)…等差数列風表現における定義「初項(First Term)1,交差(Common Defference)-1」を逆転させた場合。
三角関数表現では1+cos(π/2→π)=sin(π/2→π)と表される。 - 左端(-1)→中央(0)…等差数列風表現における定義「初項(First Term)0,交差(Common Defference)-1」に該当。
三角関数表現では-(1+cos(π→3π/2))=sin(π→3π/2)と表される。 - 中央(0)→右端(1)…等差数列風表現における定義「初項(First Term)-1,交差(Common Defference)1」に該当。
三角関数表現では-(1-cos(3π/2→2π))=sin(3π/2→2π)と表される。
②この関数はCos(θ)±(1-abs(Cos(θ)))iの形に整理出来ます。グラフの形は全くの同一。
- 右端(1)→中央(0)→左端(-1)…三角関数で1-cos(0→π)=sin(0→π)と表せる。
- 左端(-1)→中央(0)→右端(1)…三角関数で-(1-cos(π→2π))=sin(π→2π)と表せる。
③同じくSin(θ)関数の正体は直径{-1,0,1}(距離2)を中央(0)→右端(1)→中央(0)→左端(-1)→中央(0)の往復。それぞれの区画を等差数列風表現に分解すると同じく1辺がsqrt(2)の正方形が現れます。θの回転方向が逆になるの点に注意。
- 中央(0)→右端(1)…等差数列風表現における定義「初項(First Term)1,交差(Common Defference)-1」に該当。
三角関数表現では1-sin(0→π/2)=cos(0→π/2)と表される。 - 右端(1)→中央(0)…等差数列風表現における定義「初項(First Term)1,交差(Common Defference)-1」を逆転させた場合。
三角関数表現では-(1-sin(π/2→π))=cos(π/2→π)と表される。 - 中央(0)→左端(-1)…等差数列風表現における定義「初項(First Term)-1,交差(Common Defference)1」を逆転させた場合。
三角関数表現では-(1+sin(π→3π/2))=cos(π→3π/2)と表される。 - 左端(-1)→中央(0)…等差数列風表現における定義「初項(First Term)0,交差(Common Defference)1」を逆転させた場合。
三角関数表現では1+sin(3π/2→2π)=cos(3π/2→2π)と表される。
④この関数もSin(θ)±(1-abs(Sin(θ)))iの形に整理出来ます。こちらもグラフの形自体は合一。
- 中央(0)→右端(1)→中央(0)…三角関数により1-abs(sin(π/2→-π/2))=cos(π/2→-π/2)と表せる。
- 中央(0)→左端(-1)→中央(0)…三角関数により-(1-abs(-π/2→π/2)))=cos(-π/2→π/2)と表せる。
関数形をCos(θ)±(1-abs(Sin(θ)))iあるいはSin(θ)±(1-abs(Sin(θ)))iなる形に特定出来たので円筒座標系(Cylindrical Coordinate System)への射影が可能となります。誰もが予測する通り二つの円錐の底面を重ねた算盤球の様な図形が得られます。
もう一方向から射影すると残り1方向からの見え方も自明の場合として定まって正八面体(Regular Octahedron)が現れます。それまで素数2^n族のみで構成されてきた構造にいきなり素数3^n族が乱入してくる形で、この辺りの仕組みの解明がこれからの課題という次第。
こうした地道な検討の積み重ねが、誤って「ティンダロスの猟犬」を召喚してしまったオイラーの公式（Eulerian Formula）Cos(θ)+Sin(θ)iの一般形Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)i(NoS=Number of Sides)の詳細を明らかにしていくのです。
二辺形(Bilateral)状態からの脱却手段としてのX+Y=1。
X軸上で+1と-1の間を等速で往復する単振動運動(Simple vibration,往復距離4)から出発します。すなわち既に対蹠(Antipodes)/直径(Diameter)は発見済みで1次元状態からは脱却しているものと考えます。いわゆる二辺形(Bilateral)状態…
直線移動時、線分長1を保つと考えると周期が半分(X1=1→0→1,X2=0→-1→0,往復距離2)となります。すなわち三角不等式(Triangle inequality)でいう|x+y|=|x|+|y|(三角形の高さ0)の状態です。
この移動をY軸に振って周回させると周期が戻り(距離4)、以下の動きが観測されます。
xとyを結ぶ線分長は1とsqrt(2)の間を往復(上掲の外接立方体と内接立方体の挙動に合致)。一方座標{x,y}と座標{x/2,y/2}は正方形を描きます。
- x+y=1(θ=0→π/2)(x=1→0,y=0→1)
- x+y=1(θ=π/2→π)(x=0→-1,y=1→0)
- x+y=1(θ=π→3π/2)(x=-1→0,y=0→-1)
- x+y=1(θ=3π/2→2π)(x=0→1,y=-1→0)
ちなみにまだ二辺形(Bilateral)状態と見て関数y=±1-abs(x)によって共役処理(Conjugated Operation)する方法もありますが、結果はもちろん同じとなります(素数2^n族に共通する特徴?)。
そしていよいよ「破れ網タイツ三昧」の世界が開ける？
X+Y=1の軌跡がアステロイド図形(Astroid)を描いている様に見えたので(トーラス内を転がる)周回円を重ねてみました。おやおや?
大半径(Major Radius)=2/sqrt(2),小半径(Minor Radius)=1の場合
大半径(Major Radius)=1/sqrt(2),小半径(Minor Radius)=1/2の場合
X+Y=1の分割をさらに細かくしてみましたが、状況は何も変わりません。
大半径(Major Radius)=2/sqrt(2),小半径(Minor Radius)=1の場合
大半径(Major Radius)=1/sqrt(2),小半径(Minor Radius)=1/2の場合
周囲にも「アステロイドもどき」を貼るうちに明瞭になった事実。「やはり描かれているのは円とは程遠い何か」でした。まるで量産品の冷凍ハンバーグみたいな形…
大半径(Major Radius)=2/sqrt(2),小半径(Minor Radius)=1の場合
大半径(Major Radius)=1/sqrt(2),小半径(Minor Radius)=1/2の場合
以下の状況を「(プログラミングを通じて)可視化したい」なる当初の目的そのものはとりあえず一応は達成された訳ですが…
①トーラス表現(Torus Expression)を用いると、最初の奇数層(Odd Layer)は大半径(Major Radius)が対角線(Diagonal)の半分の位置に現れる。
2次元空間上
3次元空間上
②関数x+y=1の軌跡を敷き詰めると、4個(2×2)単位で中央に「そこに収まる円に対応する図形」が現れる。
…実はこの投稿をするまで中央に現れる「そこに収まる円に対応する図形」はもっと円に近く(数値積分の様に)分割数引き上げによってさらなる近似制度が見込める、そんな存在と勝手にイメージしてたんです。どうやら知識のアップデートが必要な様ですね。
かくして距離空間(Metric Space)概念登場。
とりあえずこの辺りの説明が該当しそうですが、現段階では説明を読んでも何が何だかさっぱり分かりません。
数学の分野におけるLp空間(Lp Space)とは、有限次元ベクトル空間に対するp-ノルムの自然な一般化を用いることで定義される関数空間である。アンリ・ルベーグの名にちなんでルベーグ空間としばしば呼ばれるが、Bourbaki (1987) によると初めて導入されたのは Riesz (1910) とされている。Lp空間は関数解析学におけるバナッハ空間や、線型位相空間の重要なクラスを形成する。物理学や統計学、金融、工学など様々な分野で応用されている。
- ユークリッド距離sqrt(x^2+y^2+z^2…)が出発点で、辺長1の平方対角線(Square Diagonal)がsqrt(2),立方対角線(Cubic Diagonal)がsqrt(3)となるのをL2空間とし、これを一般化してp-ノルム(x^p+y^p+z^p…)^(1/p)と置いた。
- L1空間のマンハッタン距離|x|+|y|+|z|はどうやら今回投稿で扱った絶対値関数と関係が深いらしい。並行/垂直移動しか許されず上掲の場合の距離がそれぞれ「2」「3」となる？
- L∞空間は定義がマンハッタン距離に似ているが行列式だと行と列の役割が入れ替わるらしい(棒読み)。半径rの円が一辺2rで軸に平行な正方形になるという。
何せ今回の投稿で興味を引かれたのが以下だから難航は必死？
- スーパー楕円(p=3/2)…今回発見された「量産型冷凍ハンバーグ」との距離の近さを感じずにはいられない。
- アステロイド(p=2/3)…今回期待してた図形に近い。トーラス表現で大半径3/4,小半径1/4の小円が転がった軌跡らしい。
むしろプログラミングの世界に持ち込めそうな以下の記事が一番有望に思えました。
というより数式が手に入った以上、とりあえず動かせる訳でして…
テスト1(p=1/2,1,2,88)
テスト2(p=2/3,1,3/2,2)
まぁ別にこれで理解が深まる訳でもないのですが、プログラムで動かせると「途中で投げ出す」確率が格段に下がるんです。そんな感じで以下続報。さて現在取り組んでる「原始座標系に素数2^n族導入が与えた影響の網羅」、年内に片がつくのでしょうか？
