【数学ロマン】虚数概念は三角比より始まる？ - 諸概念の迷宮（Things got frantic）

なるほど、基本に立ち返る良い機会となりました。

a=c×cos(θ)
b=c×sin(θ)
a=b×tan(θ)

「木の高さ」を「頂点を見上げる仰角」と「木からの観測地点からの距離」を使って求めるにはこのうちa=b×tan(θ)の式を用いればいい訳です。

小6の教科書なんだけど、めっちゃ専門知教えてたわ。 pic.twitter.com/S7Q6vQWIdI
— 空き瓶先生 (@an_empty_bottle) 2022年5月21日

なるほど…

そして以下は私のqiitaへの2020年最初期段階における投稿。「自分には数理が決定的に欠けている。再勉強が必要」と2018年末に思い立ってから準備にまる1年を要しています。そして最初の出発点がこの投稿。

①線分ab=線分ac=1の時、θ=角bacが0から直角(Right Angle) $\frac{π}{2}$ に推移するとCos(θ)=線分adは1から0に、Sin(θ)=線分bdは0から1に推移する。これが三角比(Trigonometric Ratio)の世界。ここで座標直交(Orthogonal)時のCos( $\frac{π}{2}$ )=0を余弦定理(Cosine Theorem) $線分bc=\sqrt{線分ab^2+線分ac^2-2線分ab線分acCos(θ)}$ に代入すると絶対値(Absolute ValueまたはModulus)=ユークリッド距離(Euclidean Distance) $R=\sqrt{Cos(θ)^2+Sin(θ)^2}$ の公式が得られ距離 $\sqrt{2}$ が求まる。これをさらに2乗した結果が分散(Variance)2。

②それでは「分散2」とはどういう状態なのか。あえて単純化して表現するなら「絶対値=半径=1の時の直径」である。θが0→ $\frac{π}{2}$ →πと推移するならCos(θ)は1→0→-1、Sin(θ)は0→1→0と推移する。

ここでCos(π)は三角不等式(Triangle Inequality)‖x+y‖≦‖x‖+‖y‖において‖x+y‖=‖x‖+‖y‖が成立する場合、すなわち‖x‖と‖y‖が同一直線上にあり三角形の面積は0に潰れてしまっている状態を指す(二次元空間から一次元空間への縮退)。この時x=yならz=2x=2yが成立。中心0=平均(Mean) $\frac{-1+1}{2}$ ,半径(絶対値)=1,直径(分散)=2が自ずと定まる訳である。この考え方が記述統計学(Descriptive Statistics)の出発点となる。

幾何学分野ではかかる「平均0,最小値-1,最大値+1,分散2」の線分範囲を一様分布(Uniform Distribution)前提で「1次元球面的分布」と見做し「2次元球面的分布=円弧(対数写像を取ると線形)」「3次元球面的分布=球表面(対数写像を1回取ると円面積、2回取ると長方形面積)」と拡張していく。

線から円環への指数写像(Exponential Map)

円盤から球表面への指数写像(Exponential Map)

③ところで2次元円描画関数 $e^{θi}$ (θ=0→2π,ここでいうiとは何かについては後述)に時間軸tの概念を1次元球面-1→0→+1ないしは+1→0→-1に従って与えると円筒座標系が現れる。この時水平方向からのx軸からの観測結果がCos(θ)波、y軸からの観測結果がSin(θ)波となるのは言うまでもない。

Cos(θ)波

sin(θ)波

コンピュータプログラムで球面を描く時にはさらにこの「円筒座標系」に時間軸tに沿って半弦描画関数 $\sqrt{1-x^2}$ を「(水平面における)半径の拡大縮小率」として与える。

その一方で半弦描画関数 $±\sqrt{1-x^2}$ を用いた円描画は1次元球面1往復分(-1→0→+1と+1→0→-1の組み合わせ)に半弦描画関数 $\sqrt{1-x^2}$ を「y軸への拡大縮小率」として与えた場合となる。

これを三次元表示した座標系は円筒座標系ではなく円錐座標系となる。1次元線形関数y=x(x=-1→0→+1ないしはx=+1→0→-1)を水平面における1周(0→π)と対応付けたイメージ。それは絶対値関数y=|x|を半周回転させた結果と重なる。

④ところでx座標とy座標の置換は「90度回転」を意味する

こうして第一象眼±90度(第一象眼 $x^2=1$ 、第二、第三象眼 $-x^2=-1$ )までは扱う目処が立ちつが、第三象眼を扱うにはどうしても $x^2=-1$ という考え方が必要となってくる。

そこでいっその事複素数 $i^2=-1$ の概念を導入して第１象眼 $-i^2=1+0i$ 、第２象眼 $0+1i$ 、第３象眼 $i^2=-1$ 、第４象眼 $0-1i$ と考えてしまった方が一貫性があって色々都合が良いというのが複素数のコンセプトとなる。

やっとこの考え方に到達したのが実に19世紀前半という…ちなみに線形代数では水平方向の回転は回転行列で済ませ、垂直方向の回転にこの考え方を導入します(いわゆるユニタリ変換)。まずはざっとこの辺りが数学的思考法の出発点となる訳です。

今回の投稿の契機となったのは以下のTweet。

しかし件の三角関数議員に対して「金融経済では、本来は三角関数どころかもっと高等な数学が必要なはず」と真っ当な反論をしていた人たちは、彼が実はその手前の三角比でつまづいたのではないかと目されるという現実を目の当たりにして盛大にズッコケているのではないか
— iJohannes5430☢️ (@iJohannes5430) 2022年5月21日

はるか手前の三角比
— はなこ (@hanako3yoko) 2022年5月21日

彼はきっと「金融工学」とか「経済物理学」なる言葉を聞いたことがないのでしょうね。
— 風竜胆（資格＆書評） (@kazerindou) 2022年5月21日

三角関数を習うのが面白くなって算数を真剣に学ぶべきだったと感じた人も数多くいると思う
— maro (@Marlowe03) 2022年5月21日

三角比で三角関数の導入をするので、180度以上で定義ができないので三角関数が理解できないという学生がいました。そこで、三角関数をどう定義するか、という議論になった訳です。三角関数は実は三角形とは無関係なのですが、導入のせいで誤解したままの人は多いのではないでしょうか。
— ugo_solenza (@ugo_solenza) 2022年5月21日

いや、あれでは三角関数に恨みを持つのも仕方ないレベルやな、と。
( ´Д`)y━･~~
— SleepyHal（ワクチン3回接種済） (@SleepyHal) 2022年5月21日

怖い話をしましょう
その議員は未だに酷い言い訳を続けて、恥と無知を世界中に発信しています
— 四葉@Θ (@yotsuba11js) 2022年5月21日

結局、「三角関数なんて理解していなくても、国会議員にはなれる！」というオチでしたね。
— せんちゃまん (@sencha_man) 2022年5月21日

慶應義塾大学経済学部もみずほ銀行もそういうレベルでOKなのか？（道理でシステムトラブル多発するのか）
— ぽこぺん🎤@2/1 0g (@ogakohlin) 2022年5月21日

「知っている人が知っていればいいから無知なまま全信用」でやってたら、そうなるわなとはなる。

新しく来たシステム開発者は言われたように作るけど、既存のシステムは理解しないので
— 世界のルールとなったまどか (@Khj5nIog4gLVFFA) 2022年5月21日

コンドルセ侯爵とジョン・スチュワート・ミルの衣鉢を継承した「古典的自由主義者=奇数世代フェミニスト」としても、この話はいただけません。

文明が発展するためには個性と多様性、そして天才が保障されなければならず、それを権力が妨げる事が正当化されるのは他人に実害を与える場合だけに限られる。

そう人類は何度でもこの精神に立ち返らないといけないのです。

表現規制で社会問題の解決を図ろうとすると、社会はいずれ表現規制に頼るようになる。なぜなら「そのような表現があることがその問題を誘発する」という理論は、一般人の一定数の人は信じますし、権力側も面倒な政策をせずに不健全なものを検挙すればいいだけなので、楽ができてしまう
— カイのオタク文化ラボ【⋈】 (@kai_anime6420) 2022年5月21日

楽ができてしまうだけでなく、これだけの不健全表現を取り締まったという「実績」になってしまうのも問題だ
このような方法では、不適切な表現を取り締まる事に注力しがちになる
本来救うべきものを救わず、楽な方を選ぶようになる
その結果、実在する人間のポルノより絵のポルノが厳しい規制を受ける
— カイのオタク文化ラボ【⋈】 (@kai_anime6420) 2022年5月21日

ここに乱入。