諸概念の迷宮(Things got frantic)

歴史とは何か。それは「専有(occupation)=自由(liberty)」と「消費(demand)=生産(Supply)」と「実証主義(positivism)=権威主義(Authoritarianism)」「敵友主義=適応主義(Snobbism)」を巡る虚々実々の駆け引きの積み重ねではなかったか。その部分だけ抽出して並べると、一体どんな歴史観が浮かび上がってくるのか。はてさて全体像はどうなるやら。

【数学ロマン】Γ関数が仲間に加わった?

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本当に最初の出発点は下記の「小学校で暗記させられる公式」の裏の繋がりを知りたかっただけなのです。

  • 半径rの2倍直径2r
  • 円周長円の面積2πr
  • 球の表面積4πr^2球の体積4/3πr^3

それなのに気付くと正体不明の仲間が(また一人)増えたという…

 そもそもΓ関数とは一体何者なのでしょう?

以前、大学の教養学部で学ぶ数学と言えば、「微分積分学」と「線形代数学」と相場が決まっていた。将来、文系方面・理系方面の何れに進むにせよ、学問研究のバックボーンとしての重要性から伝統的に教えられてきたように思う。

大学で学ぶ微分積分は、高校で学ぶ微分積分とは大きく異なる。決定的に違うところは、実数論や極限論に習熟し、厳密な理論展開になる点だろう。しかも、扱える関数も膨大に増える。

大学では、高校で学んだ微分積分の限界を知り、被積分関数特異点を持つ場合や積
区間有界でない場合の処理を学び、ゆくゆくは、リーマン積分とは異なる発想の、測度論に根ざしたルべーグ積分へと導かれる。

このような新しい積分法の出現は、方程式の解による基礎体の拡大に似ている。ルべーグ積分では、リーマン積分では可積分でなかった関数が可積分となり、積分できる関数が飛躍的に増大する。

この途中過程で、ベータ関数やガンマ関数などの特殊関数が目の前に表れ、幾ばくかの性質を示して、消え去っていく。ベータ関数やガンマ関数については、そのような認識しかなかった。

(中略)

今まで、ベータ関数やガンマ関数というと、具体的な値が分かるのは本当に特殊な場合だけで、実際は、数値解析により所要の精度まで求める手法が奔流であろうということで、あまり顧みなかった。

高校ではnの階乗,すなわちn!というのを習う.nは非負整数だった.ガンマ関数というのはこのnに整数以外を入れたら幾つになるかを表す関数である.

この関数の存在を初めて知ったとき,私はとても驚いた.階乗の定義からして,nが整数以外の場合のことなんて考える意味があるのだろうか,と.例えば 2.5 の階乗(2.5)!は幾つになるだろう?2.5×1.5×0.5×… と,1 ずつ減らして掛けて行くとして,あれ?この次は何を掛けたらいいのだろうか.実はその答えは (2.5)!=2.5×1.5×0.5×√π ≒ 3.32なのだと聞かされれば,えー!?一体どういう理屈でそうなるの?と聞きたくなる.

こんな奇妙な関数を何のために使う必要があるのだろう.まぁ世の中にはこの関数の使い道も色々とあるのだろうが,私が今これを書いている理由はこの次に説明しようとしている「n 次元球の体積」という,抽象的なものを求めるためである.「世の中にはそんな関数がありますから,興味のある方は数学書を探して下さい」というのでは読者も気になって仕方ないだろうし,本当に好きでもない限り,実際に数学書を探して調べるのはかなり骨が折れるだろう.

本当は数学書を調べるよりも,物理数学の参考書や統計力学の教科書の後ろの方に付録として付いている解説を探したりする方が説明が軽くて分かり易いのだが,どの本にでも載っているとは限らない.それで,私自身の復習も兼ねて,私が満足する程度に調べて解説してしまおうと思った次第である.

 専門家にして、この酷い言い様…もはやこのレベルの方々は「小学校で暗記させられる公式の裏の繋がり」なんて気にしてないのでしょう。あるいは「N次元球の表面積と体積を求める問題」なんてその筋の人達にとってば基礎教養に過ぎず、今更騒ぎ立てるほどの事はないのかもしれません。実際、どう検索すればいいか分かった途端、検索に次々と引っ掛かってくる…

要するにこれまで私に視えていなかっただけで「奴等」はずっとどこかで自分の順番が来るのを待ちつけているだけなのか…