ノーベル賞を受賞した物理学者朝永振一郎博士(1906年～1979年)が「虚数冪」と表現した世界においては、の指数写像や対数写像を取ると実数軸(Real Axis)上における1と-1が交点となります。おそらく自明の場合(Trival Case)としてその逆に
の指数写像や対数写像を取ると虚数軸(Imaginal Axis)上におけるiと-iが交点となるのです(後で実際に試してみる予定)。
複素共役(Complex Conjugate)に当たる概念が多重に現れ、しかも交代級数(Alternating Series)の概念と絡んでくるのが厄介ですが、要は観測者が主観的に何らかの決め付け(規約化)を遂行しない限り先に進みません。現在探しているのは(右手の法則の採用といった)まさにこの辺りどう規約化されてきたかという話…
その辺を群論の用語でどう表現するのか探っていたら、以下に行き着きました。
ユニタリ行列はエルミート行列を使って
という形で表せる。そして,ユニタリ行列の行列式が 1 の時にはエルミート行列の対角和（トレース）が 0 となる。
実数で構成される行列の随伴は単に転置であるため実ユニタリ行列は直交行列に等しく、直交行列を複素数体へ拡張したものがユニタリ行列とも言える。
語彙が足らなくなって線形代数の用語を使ってるよ…そんなのってアリ？ 逃げちゃ駄目だ!! 逃げちゃ駄目だ!! 逃げちゃ駄目だ!!
【追伸】自分が何を不満に思ったか気づきました。
- 「0次元=実軸(Real Axis)を1本も抽出していない状態」「虚軸(Imaginal Axis)=既存の実軸と直交する形で設定可能な抽出前の実軸」と考える数理考古学(Mathematical Archeology)の考え方に従うなら、二次元デカルト座標系 (2D Cartesian Coordinate System) はあくまで「実際の歴史的出現順序とは逆に」極座標系(Polar Coordinates System)に直交する虚軸を追加した複素平面(Complex Plane)の延長線上に現れて欲しいのである。
- 実際の群論においてはリー群
=円周群=一次元トーラス(半径1の単位元に対応し、半径として実数全体の集合が採用可能である)に直交する虚軸を1本追加した場合に現れるのはリー群
=二次元トーラス(実数の全体集合の補集合としての1次元虚数の全体集合が排他的に現れる)であり、さらに虚軸を追加した結果はリー群
=三次元トーラス(実数全体の集合の補集合として排他的に現れる3次元虚数の全体集合=四元数座標系)となる。すなわち自明の場合(Trivial Case)としてデカルト座標系が現れる訳ではない。
- その一方でユニタリ行列の定義は直交行列=実ユニタリ行列を複素数体へ拡張したものだという。これは循環定義では？ この問題の解決方法は案外簡単で、逆に「直交行列とは複素数体として規定されるユニタリ行列のデカルト座標系(実数体)への写像である」と考えればとりあえず先に進める。
要するにこれまで分かってなかった「群論の上位に環論=体論が現れる」流れがこれ？
