【数学ロマン】「線形代数そのもの」は一体何者なのか？

ここで改めてハミルトンの四元数(Quaternion)における非可換性(Non-Commutative)すなわちij=k,ji=-kが何を意味するかについて考えてみましょう。

qiitaに投稿してる様な中高生はロボコンへのリアル挑戦者が多く「三軸モーターの制御」を通じてこの考え方を血肉としています。会計の場合で考えてもほぼ同じ結論に到達しますね。

「資産(負債+資本)と損益(費用+収益)の交点からは経営(投資+回収)が回転して見える」と言う時「資産の回転」は「資本を取り崩して発生させた費用を運用して収益を発生させ資本を復元する」流れと「負債から発生させた費用を運用して収益を発生させ負債を返済する」流れの２つを含む。
資産(負債+資本)をX軸、損益(費用+収益)をY軸に置いた時、経営サイクルは「投資→回収」の方向に回って見える。ここから出発すると「経営規模拡大(傾き最大化)を志向する」ポジティブ思考に辿り着く。
逆に損益(費用+収益)をX軸、資産(負債+資本)をY軸と置くと経営サイクルは「回収→投資」の方向に回って見える(前者の真逆)。「費用の発生が資本の取り崩しを伴う場合、最終的にはその運用結果たる収益で復元されねばならない」「費用の発生が負債の発生を伴う場合、最終的にはその運用結果たる収益で返済されねばならない」なる「経営規模縮小(傾き最小化)を志向する」ネガティブ思考に辿り着く。

円錐座標系(Conical Coordinate System)の考え方を援用して、少し荒っぽくまとめてみましたがいかがでしょう？まぁまだ全然叩き台段階ではありますが…

その一方でこのTwitterには「あえて(球面座標系を円環座標系に縮退させる様な)剪断操作によって自らの認識範囲を狭めた」自称ネット論客が大量に跋扈しています。

そう、我々はまずこの現実から出発しないといけないのです。

三角関数はまだちゃんと教科書に載ってるし教えられてるのでとりあえず置いといて、行列とベクトルが既に削除されているのでコンピューターでメシ食ってる側としてはこれがすごくヤバいと思っています。すぐ復活すべき
— だんぼーだよ📦 (@Liliaceae) 2022年5月18日

ベクトルは必修から外れたという話で、完全に消えてはいないみたい
— だんぼーだよ📦 (@Liliaceae) 2022年5月19日

理系なら高校でベクトルは全員まだやりますね。ただ、行列はないのでそれはまずいかなと
— hideo_ishii (@hideo_ishii) 2022年5月19日

現行課程と新課程の学習指導要領はこんな感じで変わりますね。https://t.co/Kr1Izc40QA
— ジョゼフ・アンリ (@joseph_henri) 2022年5月19日

ここに乱入。

最近、入門用参考書とかまとめ読みしましたが「まず行列式や固有値や固有値を手計算で求めよう(虚数は別途勉強してね)レベルでびっくり。今はコンピュータの時代なんだから、そんなのコンピュータに計算させて「ほら二次元同時座標行列で拡大縮小も平行移動も回転も剪断もおもいのまま」で良いのでは？
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年5月19日

むしろそうやってアニメーションを楽しみながら「そうか、行列式1だけが回転しても拡大縮小しないんだ」「-1だと反転するけど、連続的に垂直方向に回転させるには？」と自然に自発的に関心範囲を拡大していく方が伸びるんじゃないかと思います。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年5月19日

×固有値や固有値を○固有値や固有ベクトルを。私はpythonのsympyで勉強しましたが、Tex記法もまとめて吐いてくれるのが便利でしたね。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年5月19日

そう「不要論」を持ち出される前に、まずその「有用性」を証明する必要があるのです。で、幸い画像処理に擬えられたら人間の関心は一気に高まります。これはqiita上で1年以上投稿を続けてきた私の実感でもあります。

「複式簿記から線形代数への流れで説明すると食い付きが変わる」認識も、そうやってqiitaでの試行錯誤を繰り返す過程で発見したアプローチの一つだったりして。

この考え方にぶら下がった反論

高校数学の勉強なしですぐに理解できるほど簡単な概念なんですか?
— ドクニンジン (@THvb9SkT3mL2H0E) 2022年5月19日

だから　ここを先に見せてやる教育が重要ツー話でしょ https://t.co/6IhUJfmiry
— ATM@ウイクラ【M'z Crew】の紅一点 (@ATMMzCrew1) 2022年5月19日

行列式の計算方法を手計算で学ぶと、一次独立の概念がしっかり身に付きます。重要です。
— 山吹色のかすてーら (@sir_manmos) 2022年5月19日

とりあえず「無相関=直交」とか「剪断」の概念を感覚で掴まないと、あの式の重要性も見えてこないというか、それについて詳しく学ぼうというモチベーションも湧いてこないというか(あくまでN=1の個人的経験からの印象です)。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年5月19日

ベクトルの内積と電力の力率が、一次独立／従属と共にn次の行列式の計算（脳内）の最中に「降りて」きました。複数のベクトルが一気に同じ方向を向いて、それに直行する平面がズサァーって突き刺さり、２つのベクトルが時計の針のように周り、その間で「プロダクト」を作る、みたいなぁ。
— 山吹色のかすてーら (@sir_manmos) 2022年5月19日

それは全く根本から違うぞ。手計算で出来ないものを応用できるわけないでしょ。十分に習得してからコンピュータに任せないと浅い理解で終わるぞ。
— Flueret (@RjmhUx5AK0VxH3j) 2022年5月19日

ですよね。

電卓あるから掛け算なんて知らなくてもいいみたいな考えなんですよね。

13*14が182であることは電卓に任せればいいけど、
13*14=182がどういう計算か理解してないと

3*3=8みたいな設計しててもミスに気づけないんですよね
— 世界のルールとなったまどか (@Khj5nIog4gLVFFA) 2022年5月19日

まぁ、あくまで「順番」の話に過ぎない訳ですが、「サクサク理解して引っ掛かり一つ感じなかった勢」と違って「再勉強に着手するまで諦めてた勢」としては「そこ可換じゃないのでは？」と言いたくなるという話ですね。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年5月19日

最終的にはそういう結論に至る訳ですが、それ以前に「これって画像処理ソフトで行う拡大縮小や平行移動や回転に該当する現代人の必須教養ですよ」という部分を認識に叩き込まないと「不要論」に走られちゃう訳です。逆に一方でも足を踏み入れたら「浅い理解で食い逃げ」が許されなくなる恐ろしい沼。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年5月19日

それ使ってプログラミングしようとしたら結局仕組みわかってないと割とまじでお話にならないです…
— デアラ勢のアイツ (@BKSMofDAL_ZEI) 2022年5月19日

実は同じアフィン変換操作の中でも「拡大縮小」「回転」「平行移動」に比べて「剪断は何をしてるのか？」理解するのが一番難しい訳ですが、その習得にはまた別の理屈が必要な気がしてます。例えば三角不等式まで遡って考えるとか。
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年5月19日

ですね、ただそれこそ第一歩で手計算があるとふとした時にアレみたいな事かと思いだして飲み込めるので大事なのかなと自分個人の経験で思いました。

ただもしかしたら今後教育のオンライン化やプログラミングと並行が定着してむしろそちらのが得意な世の中になりそうとなると途端僕も弱いですね…
— デアラ勢のアイツ (@BKSMofDAL_ZEI) 2022年5月19日

まあ、一理ある。
ただ、コンピューターに計算させるにしても平行移動させるにしても、学習内容に入らなければそもそも扱われないわけですね。計算ツールや見せ方はいくらでも存在するが、内容がなくなるととてつもなく扱いづらくなってしまう。どれをどの段階でっていうのは本当に難しい選択。 https://t.co/oe93ScGsWi
— キムヒロ。 (@kimu_goofy) 2022年5月19日

そして「まず理論」派について追記。

そう主張する人に限って「じゃあ実際にコンピュータを援用した線形代数がどういう感じになるか」食わず嫌いで試してた事がない印象も。https://t.co/Os0ykNR4t6
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年5月19日

実は本当に考え方を全部スキップ出来る筈もなく、それどころか手計算の場合と違う考え方を強制される上に、それがさらに高度な計算に結びついていく局面も。https://t.co/VwF6YybOfW
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年5月19日

個人的経験でいうと「実は線形代数は高校数学で習う二項式(a±b)^nの単純な延長線上にある訳ではない」という現実に突き当たったのが大きなパラダイムシフトとなりました。何故かこの話は高校どころか大学でも教えてない気が…https://t.co/SIH9lhudo4
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年5月19日

実は線形代数には「カンブリア爆発期以降、生物が授かった「視覚情報を処理する脊髄」そのもののプリセット処理能力」が先経的に抱えてきたバグに対するパッチという側面もあるんじゃないかというのが私の立場。

グラフィック操作方面から入ると特に剪断概念の理解が難しくなるのは、人間の認識能力には「遠近法」なるもっと高度かつ直感的な空間意識がプレインストールされててコンフリクトを起こすからとも。むしろ「空気遠近法=確率積分」という考え方の方が直感的に感じられるレベル…
— Yasunori Matsuki (@YazMatsuki) 2022年5月19日